2.8　阵列协方差矩阵的特征分解

在实际处理中，我们通常得到的数据是在有限时间范围内的有限次快拍数。在这段时间内，假定空间源信号的方向不发生变化，并且空间源信号的包络虽然随时间变化，但通常认为它是一个平稳随机过程，其统计特性不随时间变化，这样就可以定义阵列输出信号x(t)的协方差矩阵为

其中，，且，则有

此外，还有以下几个条件必须满足：

（1）M>K，即阵元个数M要大于该阵列系统可能接收到的空间信号的个数。

（2）对应于不同的信号来向θi（i=1,2,…,K），信号的方向向量a(θi)是线性独立的。

（3）阵列中噪声n(t)过程具有高斯分布特性，而且

其中，σ2表示噪声功率。

（4）空间源信号向量s(t)的协方差矩阵

是对角非奇异阵，这表明空间源信号是不相干的。

由以上各式，可得出，可以证明R是非奇异的，且，因此R为正定Hermitain方阵，若利用酉变换实现对角化，其相似对角阵由M个不同的正实数组成，与之对应的M个特征向量是线性独立的。因此，R的特征分解可以写为

其中，，并可证明其特征值服从排序：。即前K个特征值与信号有关，其数值大于，这K个较大特征值所对应的特征向量表示为它们构成信号子空间，记是K个较大特征值构成的对角阵；而后M-K个特征值完全取决于噪声，其数值均等于，所对应的特征向量构成噪声子空间，而是由M-K个较小特征值构成的对角阵。

因此，可以将R划分成

式中，ΣS为大特征值组成的对角阵；ΣN为小特征值组成的对角阵。

显然，当空间噪声为白噪声时，有

下面给出在信号源独立条件下关于特征子空间的一些性质，为后续的空间谱估计算法及其理论分析做准备[4]。

性质2.8.1　协方差矩阵的大特征值对应的特征向量张成的空间与入射信号的导向向量张成的空间是同一个空间，即

性质2.8.2　信号子空间与噪声子空间正交，且有，其中i=K+1,…,M。

性质2.8.3　信号子空间US与噪声子空间UN满足

性质2.8.4　信号子空间US、噪声子空间UN及阵列流形A满足

性质2.8.5　定义，则有下式成立：

性质2.8.6　定义，则有下式成立：

性质2.8.7　定义，则有下式成立：

性质2.8.8　信号协方差矩阵RS满足

性质2.8.9　定义，则有下式成立：

性质2.8.10　定义，，则有下式成立：

需要说明的是，在具体实现中，数据协方差矩阵用采样协方差矩阵代替，即

式中，L表示数据的快拍数。对进行特征分解可以计算得到噪声子空间、信号子空间及由特征值组成的对角矩阵