2.7　阵列响应向量/矩阵

常用的阵列形式包括均匀线阵、均匀圆阵、L型阵列、面阵和任意阵列等。

1. 均匀线阵

假设接收信号满足窄带条件，即信号经过阵列长度所需要的时间应远远小于信号的相干时间，信号包络在天线阵传播时间内变化不大。为简化，假定信源和天线阵列在同一平面内，并且入射到天线阵为平面波。以来波方向θk（k=1,2,…,K），入射M根天线，如图2-2所示，阵元间距为d的均匀线阵的阵列响应向量为

定义方向矩阵为

2. 均匀圆阵

均匀圆形阵列简称均匀圆阵，其M个相同的全向阵列均匀分布在平面x-y上一个半径为R的圆周上，如图2-3所示。采用球面坐标系表示入射平面波的波达方向，坐标系的原点O在阵列的中心，即圆心。信源的仰角θ是原点到信源的连线与z轴之间的夹角，方位角φ则是圆点到信源的连线在平面x-y的投影与x轴之间的夹角。

方向向量a(θ,φ)是DOA为(θ,φ)的阵列响应，a(θ,φ)可表示为

其中，γm=2πm/M；m=0,1,…,M-1；R为半径。

3. L型阵列

图2-4所示为L型阵列，有M+N-1个阵元。此L型阵列由x轴上阵元数为N的均匀线阵和y轴上阵元数为M的均匀线阵构成，阵列间距为d。假设空间有K个信源照射到此阵列上，其二维波达方向为(θk,φk)（k=1,2,…,K），其中θk、φk分别代表第k个信源的仰角、方位角。

假设入射到此阵列上的信源数为K，则x轴上N个阵元对应的方向矩阵为

y轴上M个阵元对应的方向矩阵为

Ax和Ay都是Vandermonde矩阵。

4. 面阵

如图2-5所示，设平面阵列阵元数为M×N，信源数为K。θk、φk分别代表第k个信源的仰角、方位角，则空间第i个阵元与参考阵元之间的波程差为

式中，(xi,yi)为第i个阵元的坐标，面阵一般在x-y面内，所以zi一般为0。

由上面L型阵列的分析可知，x轴上的N个阵元的方向矩阵为Ax，见式（2-123）；y轴上的M个阵元的方向矩阵为Ay，见式（2-124）；所以如图2-5所示的子阵列1的方向矩阵为Ax，而子阵列2的方向矩阵就得考虑沿y轴的偏移，每个阵元相对于参考阵元的波程差就等于子阵列1的阵元的波程差加上2πd sinφ sinθ/λ，所以可得

其中，Dm(·)是由矩阵的m行构造的一个对角矩阵。

5. 任意阵列

假设M元阵列位于任意三维空间中，如图2-6所示。定义阵列中第m个传感器为。方向矩阵是

其中，是第k个信源的方向向量，可以表示如下：

式中，λ是波长。