2.2　动力学原理

2.2.1　牛顿三大定律

1. 牛顿第一定律

牛顿第一定律（惯性定律）——任何物体都将保持静止或做匀速直线运动状态，直到其他物体所施加的外力迫使它改变原来的状态为止。换句话说，任何物体都有保持原有的运动状态不变的属性。原来静止的汽车，不对它施加新的外力，它将持续保持静止状态。对于原来已经具有一定速度的汽车，会继续保持匀速直线运动状态。在高速公路的直线段，汽车经常处于速度很大的匀速直线运动状态，发动机使后轮产生的向前的驱动力正好与向后的滚动阻力、空气阻力等互相抵消，加上重力与路面反力互相抵消，整个汽车如同不受外力作用一样，保持匀速直线运动状态。当汽车起动加速时，车上乘员向后仰，就是企图保持原来的静止状态的表现；而制动减速时，人往前冲，也是企图保持原来的匀速直线运动状态的表现。特别是当汽车转弯时，站着的人向外侧倾斜，就是因为人的质心要保持原来的直线运动向前，他们的脚却被车厢底板带向弯道的内侧，相对而言，人就倒向外侧。总而言之，如果不受外力作用，任何物体都将保持原有的运动状态，这个属性称为物体的惯性。因此，牛顿第一定律又称惯性定律。当力等于零时（包括不受力作用或者几个力同时作用其合力等于零），加速度就等于零，物体将保持匀速直线运动状态或保持静止状态，这就是第一定律。

2. 牛顿第二定律

牛顿第二定律（动力方程）——物体受力F作用而产生的加速度a，其方向与力的方向相同，其大小与力的大小成正比，即

式中，比例系数m为物体的质量，它是物体惯性的度量。因为从式（2-28）可见，同样大小的力作用在物体上，质量越大，加速度a越小，运动状态越不易改变，即惯性越大。牛顿三大定律中最核心的是第二定律，它建立了力与运动的关系。

3. 牛顿第三定律

牛顿第三定律（作用与反作用定律）——两物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个不同的物体上。对于牛顿第三定律需要注意两点。一是作用力与反作用力一定要大小相等、方向相反。例如，有一大车A与一小车B正面相撞（图2.9），结果往往是大车继续向前，只是速度减小一些，但小车却被撞得倒退。这里并不是大车给小车的作用力F大使得小车倒退，而是因为小车的质量小，加速度大，容易改变运动状态；同样的道理，大车速度变化不大，不是因为它受到的小车给它的反作用力F′小，而是因为大车质量大，加速度小，速度变化就小。二是作用力F与反作用力F′分别作用在两个不同的物体上。例如，汽车对路面的正压力N作用在路面上，其反作用力N′（常常称为法向反力）作用在汽车轮胎上。当然，汽车内部各零部件之间存在的各种各样的相互作用力也要大小相等、方向相反、相互抵消，不影响汽车整体的运动。

2.2.2　动量定理

根据牛顿第二定律及加速度的定义，所以

此式表示物体动量对时间的一阶导数等于作用在物体上外力的矢量和，称为动量定理的微分形式。将上式改写为d（mv）=Fdt，对两边积分：

mv-mv0称为时间间隔t内动量的变化，它等于作用力F在时间间隔t内的冲量，即动量定理。

例2-1　某车型投产前做过碰撞试验，试验车被牵引装置拉着沿轨道加速前进，正面碰撞固定墙壁，如图2.10所示。已知碰撞固定墙壁前车速v0=49km/h，碰撞后回弹速度v=8km/h，碰撞时间为0.1s，试验车质量为1 850kg。

解：以试验车为研究对象，碰撞时水平方向只有固定墙壁作用于车的由冲量P代表的法向冲力。以固定墙壁的法向为x轴，那么将冲量定理式投影在x轴上，得

（-mv）-（mv0）=-P

所以

再由

P=Ft

可得冲力为

这就是说，该车正面碰撞墙壁时，冲力要比车重大近17倍。

2.2.3　动量守恒定律

当系统所有外力的合力为0时，无论内力如何作用，系统的动量都不会改变。根据牛顿第三定律可知，作用力与反作用力二者大小相等、方向相反、同时存在、同时消失，作用力与反作用力的冲量也总是大小相等、方向相反，系统的总动量不会发生改变，此即动量守恒定律。

mv=mv0=常矢量

在交通事故分析中，如图2.11所示，两车任意角度相撞时，相互作用力与反作用力的冲量分别为P和P′，它们满足大小相等、方向相反，即

P=-P′

分别以车1和车2为研究对象，建立冲量方程

式（2-32）表示，碰撞后两车动量的矢量和等于碰撞前两车动量的矢量和。动量守恒是对两车整体而言的。两车之间的碰撞力，对各车而言是外力，但对两车整体而言是内力。由于内力不影响整体的运动，所以两车整体的动量（即两车动量的矢量和）在碰撞前后保持不变。

2.2.4　力的平移定理

如图2.12所示，有一个力F作用在点A，另有一点B，离力F作用线的垂直距离为h。如果在点B加一对平衡力F′和F″［图2.12（b）］，当然并不影响原有力F的作用效果。

如果我们使新加的一对平衡力的大小等于原有的那个力，即

那么这三个力变成一个力F′和一个力偶（F，F″）=M［图2.12（c）］。此时，这个力F′与原力F相比，虽然大小和方向没有变，但作用点从点A换成了点B，或者说作用线平移了一段距离h，而力线平移后所附加的力偶，其力偶矩M就等于原力F对新作用点B的力矩MB（F），即

这样可以得出结论：力的作用线可以平动到任何地方，但需附加一个力偶，此附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩。

如图2.13所示，车辆偏心碰撞时，碰撞冲力P的作用线不通过质心C，垂直距离为h。现将P的作用线平移通过质心C，变为作用在点C的一个力P′及一个附加力偶

这样就等效于一个力P′和一个附加力偶M同时作用。经过Δt时间间隔，作用在质心C的力P′使车体平动到C1点，同时附加力偶使车体绕C1点转动一个角度。这样，车体一方面跟随质心平动，同时绕质心相对转动，两者合成就成为车体在平坦路面上的平面运动。

2.2.5　动量矩定理与转动方程

1. 动量矩

动量矩如图2.14所示。

与力对点之矩定义式相对照，可以定义动量（mv）对O点之矩mO（mv）为

式中，h为动量（mv）离矩心O点的垂直距离；“+”“-”号代表两种转向，通常逆时针转动取“+”号，顺时针转动取“-”号。

对于一个做定轴转动的物体，如图2.15所示，其上任意取一小块质量为mi，其速度vi为

vi=riω

其方向一定垂直半径ri，式中角速度ω对于物体上所有点都是一样的。若把此物体分割成许许多多小块，把所有小块对转动轴O的动量矩加起来就是此定轴转动物体对转轴O的动量矩

JO称为此物体绕转轴O的转动惯量。转动惯量是物体绕某轴转动惯性的度量，它与质量具有同等重要的地位。质量m是物体平动惯性的度量，而转动惯量JO是物体绕转轴O转动惯性的度量。

2. 动量矩定理

与动量定理相对应，将动量定理两边同时乘以到O点的垂直距离h，有

也就是说，动量矩对时间的一阶导数等于力对同一点之矩，称为动量矩定理。

3. 定轴转动方程

对于绕定轴转动的物体，将它分成很多小块，每一块应用动量矩定理并求和得

注意到角速度ω的一阶导数为角加速度ε，得

这就是定轴转动的转动方程。它的内容是绕O轴的转动惯量JO与转动角加速度ε的乘积等于作用在其上的所有外力对转轴O的力矩之和。

在交通事故分析中常常要用到转动方程的积分形式。设碰撞前后的角速度分别为ω0和ω，碰撞时间为t，外力的碰撞冲量为Pi，那么对式（2-40）积分，有

式（2-41）左边为碰撞前后转动物体绕转轴动量矩的变化，式（2-41）右边为所有外力冲量Pi对转轴的冲力矩。也就是说，定轴转动物体在碰撞前后动量矩的变化等于所有外力的冲力矩之和，这是动量矩定理的积分形式，又称冲力矩定理。

例2-2　某圆柱受转矩T作用绕其中心轴加速转动，已知圆柱重为G，半径为r，试求圆柱转动角加速度及时间t后的角速度。

解：根据转动方程得

代入得角加速度