毕达哥拉斯定理

尼罗河贯穿古埃及，每年洪水泛滥后需要重新丈量土地，测绘者将一根均匀分布有12个绳结的绳圈围成三角形，三角形的边长分别为3、4、5，以此来标记直角；在巴比伦出土的“普林顿322号泥板”上记录着一些满足a²+b²=c²规律的数组（119、120、169；3367、3456、4825；4601、4800、6649；……）。

这就是大多数中学生都要学习的定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（如，3²+4²=5²），西方称之为“毕达哥拉斯定理”，在中国又叫作“勾股定理”。

追溯勾股定理的起源很难，毕达哥拉斯所处时代结束几百年后，这个定理才与毕达哥拉斯联系起来。这个定理为古埃及和古巴比伦人所使用，但善于思考的毕达哥拉斯认为，这一结论需要经过严密的演绎推理之后才能作为普遍知识来应用。

想到就做，毕达哥拉斯开始了这段艰辛的证明之旅，他常常一个人坐在巴比伦城外的沙地上，画着一个个直角三角形，边画边思索，却一直没有进展。

有一天，毕达哥拉斯接到邀请，去参加一场宴会。宴会的地点富丽堂皇，餐厅的地面铺着多彩的大理石瓷砖。与会的宾客们谈论着政治、音乐和绘画，他们高谈阔论，各抒己见，只有毕达哥拉斯沉默不语。原来，他被脚下规则排列的方形瓷砖吸引住了。毕达哥拉斯并不单是欣赏美丽的瓷砖图案，而是感受到它们与“数”之间似乎有关联。突然，他注意到以一块正方形对角线为边画正方形，这个正方形的面积恰好是两块瓷砖的面积之和。这令他兴奋不已，顾不得所谓的体面，就俯身趴在了地板上，在地板上画了起来。

图中每个小三角形的面积均相等，以c为边的正方形面积等于两个以a为边的正方形面积的和，即a²+a²=c²。

“这个图形中一定隐藏着一种奇妙的证法！”毕达哥拉斯在心里暗自想着。他的思路是先分割正方形，再将其中的一部分重新拼凑成同样大小的正方形，最后利用面积完成证明。其间，毕达哥拉斯经历了多次失败，但他从不灰心，反而更加认真地分析图形。突然，他灵光一现，一拍脑门说：“原来这样分就可以了！”

两幅图中大正方形的面积相等，三角形面积也彼此相等。可以得到：S₁+S₂=S₃，即a²+b²=c²。

据说，他当时为了庆祝这一伟大发现，用了100头牛设宴，故又称“百牛定理”。自他之后的2500多年里，很多人都痴迷于勾股定理的证明，迄今已有超过400种的证法，且不断有新的证法出现。

在毕达哥拉斯之前，几何学是通过实践得来的规律性知识，人们并不知道规律之间有没有关联。毕达哥拉斯提出发展几何必须先制定“公理”（公设），再经过演绎推理得到“定理”，这为欧几里得建立完整的几何体系提供了理论基础。毕达哥拉斯首次将证明引入了数学，这是他最伟大的贡献之一。

那么，勾股定理有多重要？

如果没有三角学，一切皆无可能。地球表面将不存在摩天大楼、公路桥梁、水库大坝等建筑物，天文学、深海探索、太空旅行、汽车、电脑等你所能想到的与所有现代科学技术有关的事物也不会存在。而勾股定理正是三角学的基础。

不过，勾股定理在带给人们无限可能的同时，也给当时的人们带来了一场数学危机！