2.4.2　基于极小曲面的高导热材料填充建模分析

为确定高导热材料的分布，这里考虑以全器件平均温度最低为优化目标来模拟高导材料的填充形状．

假设元器件形状为正方形，其边长记为l，如图2-5所示，阴影部分为高导热材料填充区域．对这个平面元件材料的体点导热问题，假设区域内均匀分布内热源q．其中基体材料的导热系数为K0，用于填充的高导热材料导热系数为KP．高导热材料填充量为ΩP，填充率η=ΩP/Ω通常介于3%~15%[25]．区域边界下端有一个开口长度为δ的缺口用于散热，通常情况下开口宽度δ≪l．其余边界均是绝热的．

在实际问题中，为了讨论方便，可以假设散热口处（即底端长度为δ的开口段）温度保持常值u0．在元器件整体平均温度最低的要求下，求高导热材料的区域最优分布．

长时间运行之后，可以假设元器件整体区域温度达到平衡，即不再随着时间而改变．这也正是填充高导热材料之后的结果．假设此时的温度分布为

u=u（x, y）

平衡态下温度分布已经与时间无关．

考虑平衡态下的导热问题．设u=u（x, y）是传热区域Ω上的温度分布函数，以全场平均温度最低为优化目标时，考虑温度分布函数图像所对应的空间曲面，定义如下一种加权整体平均温度：

这里的|Ω|是指平面区域也就是元器件整体区域Ω的度量，即面积．忽略运行过程中|Ω|的大小变化，即不考虑热胀冷缩的影响．

为讨论方便，记

为区域Ω的绝热边界部分；余下的散热开口处的边界为

∂Ω1=（（l-δ）/2, （l+δ）/2）×{0}

梯度模为

在|Ω|保持常值不变的情况下，式（2-34）表示的加权整体平均温度最低可以简化成如下形式的泛函极小问题：

边界条件为

式中，，是外法向导数，即在上下边界上n分别为y和-y方向，左右边界上n则分别为-x和x方向．实际上，法向量n可以取成单位向量

这里的弧微分．

另外，这里的开口小边界上的边界条件u=0，实际上已经做了温度平移，因为在开口保持恒定温度u0的情况下令v=v-u0，则得到平移后的新温度函数仍然满足式（2-35）~式（2-37）．

值得注意的是，这里的边界条件与2.3.3节中极小曲面要满足的必要条件方程有所不同，后者的边界条件[式（2-31）]完全是固定的，而这里的边界条件[式（2-36）和式（2-37）]则既有固定（在散热开口小段上），也有绝热（在上部和两侧以及下部的非散热部分），如图2-5所示．