1.4.2 质量损失函数
如何度量产品功能波动所导致的损失？田口博士发明了下述质量损失函数，质量损失函数按照质量特性的类型不同而取不同的形式。
1. 望目特性的质量损失函数
（1）望目特性质量损失函数的定义
设产品的质量特性Y为望目特性，目标值为m。若Y≠m，则造成损失，且|Y-m|越大，损失越大。设质量特性为Y的产品，相应的质量损失为L（Y），若L（Y）在Y=m处存在二阶导数，按泰勒公式有：
不失一般性，设Y=m时，L（Y）=0，即L（m）=0；又因为L（Y）在Y=m时有最小值，所以
L′（m）=0
再略去二阶以上的高阶项，有
式中k=［L″（m）/2!］是不依赖于Y的常数，称之为质量损失系数。今后我们称以式（1-2）表示的函数为望目特性的质量损失函数，其图形见图1-1。
图1-1 望目特性的质量损失函数图
（2）质量水平
由于产品的质量特性Y表现为随机变量，所以L（Y）亦为随机变量，此时我们称L（Y）的期望值
为产品的质量水平，式中μ、σ2分别为质量特性Y的期望值和方差。只有当μ=m时，式（1-3）才可简化为
若有n件产品，其质量特性值分别为y1，y2，…，yn，则由式（1-3），质量水平可近似表示为
我们称
为这n件产品的平均质量损失。
式（1-2）和式（1-5）说明，由于质量特性波动所造成的损失与质量特性偏离目标值m的偏差均方成正比。这又一次说明，不仅不合格品会造成损失，即使合格品也会造成损失，质量特性值偏离目标值越远，造成的损失越大。这就是田口博士对产品质量概念的新观点。
（3）质量损失系数k的确定方法
如何确定质量损失函数中的系数k？原则上只需知道抛物线L（Y）上的一点，即可求得。常用方法有两种，参考图1-1：
1）根据产品的功能界限Δ0和相应的质量损失A0来确定k
对于望目特性，产品的功能界限Δ0是指产品能够正常发挥功能的极限值。若产品的质量特性为Y，目标值为m，则当|Y-m|≤Δ0时，产品尚能正常发挥功能；而当|Y-m|>Δ0时，产品即丧失功能。假设产品丧失功能时的损失为A0，则可以认为在Y=m±Δ0这两点上，L（Y）均为A0，由式（1-2）得
A 0=k×Δ02
故有
2）根据产品的容差Δ和相应的质量损失A来确定k。
对于望目特性，产品的容差Δ是指合格品的范围。若产品的质量特性为Y，目标值为m，则当|Y-m|≤Δ时，产品为合格品；而当|Y-m|>Δ时，产品为不合格品。若产品为不合格品时，工厂的损失为A，则可以认为在Y=m±Δ这两点上，L（Y）均为A，由式（1-2）得
A=k×Δ2
故有
综合式（1-6）和式（1-7），得到
2. 望小特性的质量损失函数
（1）望小特性质量损失函数的定义
仿照望目特性质量损失函数的定义，望小特性的质量损失函数可定义为
其图形见图1-2。
图1-2 望小特性的质量损失函数图
（2）质量水平
由于产品的质量特性Y表现为随机变量，所以L（Y）亦为随机变量，此时我们称L（Y）的期望值
为产品的质量水平，式中μ、σ2分别为质量特性Y的期望值和方差。
若有n件产品，其质量特性值分别为y1，y2，…，yn，则由式（1-10），质量水平可近似表示为
我们称
为这n件产品的平均质量损失。
（3）质量损失系数k的确定方法
常用方法有两种，参考图1-2：
1）根据产品的功能界限Δ0和相应的质量损失A0来确定k
对于望小特性，产品的功能界限A0是指产品能够正常发挥功能的极限值。若产品的质量特性为Y，则Y≤Δ0时，产品尚能正常发挥功能；而当Y>Δ0时，产品即丧失功能。假设产品丧失功能时的损失为A0，则可以认为在Y=Δ0时，L（Y）为A0，由式（1-9）得
A 0=k×Δ02
故有
2）根据产品的容差Δ和相应的质量损失A来确定k
对于望小特性，产品的容差Δ是指合格品的范围。若产品的质量特性为Y，则当Y≤Δ时，产品为合格品；而当Y>Δ时，产品为不合格品。若产品为不合格品时，工厂的损失为A，则可以认为在Y=Δ时，L（Y）为A，由式（1-9）得
A=k×Δ2
故有
综合式（1-12）和式（1-13），得到
3. 望大特性的质量损失函数
（1）望大特性质量损失函数的定义
当Y为望大特性时，1/Y为望小特性。仿照望小特性质量损失函数的定义，望大特性的质量损失函数可定义为
其图形见图1-3。
图1-3 望大特性的质量损失函数图
（2）质量水平
由于产品的质量特性Y表现为随机变量，所以L（Y）亦为随机变量，此时我们称L（Y）的期望值
为产品的质量水平。
若有n件产品，其质量特性值分别为y1，y2，…，yn，则由式（1-16），质量水平可近似表示为
我们称
为这n件产品的平均质量损失。
（3）质量损失系数k的确定方法
常用方法有两种，参考图1-3：
1）根据产品的功能界限Δ0和相应的质量损失A0来确定k
对于望大特性，产品的功能界限Δ0是指产品能够正常发挥功能的极限值。若产品的质量特性为Y，则Y≥Δ0时，产品尚能正常发挥功能；而当Y<Δ0时，产品即丧失功能。假设产品丧失功能时的损失为A0，则可以认为在Y=Δ0时，L（Y）为A0，由式（1-15）得
A 0=k/Δ02
故有
2）根据产品的容差Δ和相应的质量损失A来确定k
对于望大特性，产品的容差Δ是指合格品的范围。若产品的质量特性为Y，则当Y≥Δ时产品为合格品；而当Y<Δ时，产品为不合格品。若产品为不合格品时，工厂的损失为A，则可以认为在Y=Δ时，L（Y）为A，由式（1-15）得
A=k/Δ2
故有
综合式（1-18）和式（1-19），得到
