2.5.2 液体在缝隙中的流动

液压系统中各个零件间有相对运动时，必须设有适当缝隙。若缝隙过大，则会造成液体泄漏；若缝隙过小，则会使零件卡紧。液压油从系统中泄漏到大气中称为外泄漏，如果从压力较高的地方泄漏到系统内压力较低的地方称为内泄漏。内泄漏的损失转换为热能，使油温升高，外泄漏污染环境，两者均影响系统的性能与效率。因此，研究液体流经缝隙的泄漏量与压力差、缝隙之间的关系，对提高元件性能及保证系统正常工作是十分必要的。缝隙中的液体流动一般为层流，分三种情况：第一种是仅由压力差造成的流动，称为压差流动（简称压差流）；第二种是仅由相对运动造成的流动，称为剪切流动（简称剪切流），例如，活塞杆伸出时，由于活塞杆和液压缸之间的相对运动，活塞杆会把油液带出来，这就是剪切流；第三种是在压力差与剪切应力同时作用下的流动。

1.平行平板缝隙

1）平行平板缝隙压差流

压差流就是液体在压力差的作用下流过缝隙。设有上下两个固定平行平板构成缝隙（见图2-16），缝隙长度为l，宽度为b（垂直纸面方向），高度为h，且l＞＞h，b＞＞h，缝隙进口压力为p₁，出口压力为p₂。在缝隙中选取一个单元液体，该单元液体的长度为dx，高度为dy，宽度为b，并设单元液体左截面的压力为p，右截面的压力为p+dp，下表面的剪切应力为τ，上表面的剪切应力为τ+dτ，建立如图2-18中的坐标系，由单元液体的受力平衡方程得

pbdy+(τ+dτ) bdx=(p+dp) bdy+τbdx

将上式整理后，将τ=μdu/dy代入其中，可得

对上式积分两次，得

式中，C₁、C₂为积分常数，由于两个平行平板是固定的，因此边界条件如下：在y=0处，u=0；在y=h处，u=0。此外，液体作层流流动时p只是x的线性函数，即dp/dx=（p₂-p₁）/l=-Δp/l，把这些关系式代入上式并整理，可得

由此可得到在压力差作用下通过固定平行平板缝隙的流量，即

式（2-41）说明，通过缝隙的流量q与h3成正比，影响泄漏流量最大的因素是缝隙的高度。因此，在要求密封的地方，缝隙越小越好，以减小液压油的泄漏，这就对零件的尺寸精度提出了较高的要求。

2）平行平板缝隙剪切流动

平行平板缝隙剪切流动示意如图2-19所示，两平行平板缝隙充满液体，若平板两端无压力差（p₁=p₂）。两平板之间有相对运动（设下平板不动，上平板以速度v沿x轴正向运动）。

上平板运动时，由于液体存在黏性，缝隙中的液体随平板流动，这种流动称为剪切流动。式（2-40）中，C₁、C₂为积分常数，由于两个平行平板有相对运动，因此边界条件如下：在y=0处，u=0；在y=h处，u=v。此外，由于p₁=p₂，dp/dx=（p₂-p₁）/l=0，把以上关系式代入式（2-40）并整理得

由此可得通过平行平面缝隙中剪切流动的流量公式，即

对于平行平板缝隙，当有压力差和剪切力联合作用时，将两种情况的流量进行叠加即可，即

当上平板相对于下平板的运动方向和压差流动方向一致时，取“+”号；反之，取“-”号。

2.环形缝隙

1）同心环形缝隙的压差流

图2-20所示为同心环形缝隙流动示意，当h/r＜＜1时，可以将环形缝隙的流动看作平行平板缝隙流动，将b=πd代入式（2-41）可得同心环形缝隙流动的流量公式，即

2）偏心环形缝隙的压差流

实际上，两个圆柱面形成的缝隙常有一定的偏心距，偏心环形缝隙流动示意图如图2-21所示。

由图2-21中的几何关系可得缝隙量公式：

h=R-(rcosβ+δcosα)

式中，δ为偏心距。

因β值很小，故cosβ≈1，代入上式可得

h≈R-r-δcosα

在dα微小角度范围内，可以把该偏心环形缝隙的压差流动看成平行平板缝隙流动，应用式（2-41）计算，即

又因为b值近似于Rdα，则有

对上式积分，可求得通过整个偏心环形缝隙的流量，即

令R-r=h₀（同心时的半径缝隙量），δ/h₀=ε（相对偏心率），则有

R-r-δcosα=h₀-δcosα=h₀(1-εcosα)

又已知d=2r，则

当ε=δ/h₀=0时，即式（2-45）同心环形缝隙流动流量公式；当ε=1时，完全偏心，完全偏心时的流量为同心时流量的2.5倍，因此圆柱环形缝隙的偏心，会使泄漏量增加。为减小环形缝隙的泄漏量，就要对零件的位置精度提出较高的要求。

3.不平行平板缝隙流动

不平行平板缝隙也称为楔形缝隙，不平行平板缝隙流动示意如图2-22所示。

设不平行平板缝隙入口高度为h₁，出口高度为h₂，长度为l，入口压力为p₁，出口压力为p₂。当取微小长度dx时，可以把它当作平行平板缝隙，仍然可以利用式（2-41），将长度l换为dx，将压力差Δp换为-dp，则有

（1）流量公式。对上式求定积分，x值为0～l，p值为p₁～p₂，并将积分结果设为Δp=p₁-p₂，可得

（2）压力分布。对式（2-46）求不定积分，可得

由此可知，p（x）为非线性函数，其图形为曲线。

（3）影响p（x）非线性的因素。为了分析p（x）曲线的非线性程度，需要求出反映该曲线的凹凸形状和曲率的二阶导数。

为便于分析，这里定义楔角为

当楔形缝隙小口进油时，h₁＜h₂，α＞0；当楔形缝隙大口进油时，h₁＞h₂，α＜0。压力分布曲线的二阶导数可表示为

由于α值很小，因此上式可以写成

由式（2-49）可知，当α＞0时，p′′（x）＞0，p（x）为凹函数；当α＜0时，p′′（x）＜0，p（x）为凸函数。同时，p′′（x）和成反比，说明缝隙的入口高度越小，p（x）曲线弯曲程度越显著。

可见，楔角的正负决定了p（x）函数的凹凸形状，缝隙的入口高度大小决定了p（x）弯曲程度。

【例2-5】 图2-23所示为滑动轴承示意图，动力黏度为μ=0.14Pa·s的润滑油，从压力为p₀=1.6×105Pa的主管道经长度为l₀=0.8m、内径为d₀=6mm的输油管流向轴承中部的环形油槽。已知：油槽宽度b=10mm，轴承内径D=90.2mm，轴承宽度l=120mm，与轴承配合的轴段的直径d=90mm。假设输油管及环形缝隙中的润滑油均为层流状态，忽略轴转动的影响，试确定轴承与轴颈同心时润滑油的泄漏流量q_v。

解：由圆管层流的流量计算式（2-30）求出Δp，则输油管段的压差

则轴承油槽处的压强p为

根据同心环形缝隙流动的流量计算式（2-44），可得到流经该滑动轴承一侧的润滑油流量，即

解得

联立式（a）和式（b），可得