1.2 何谓程序？
来看历史上几个典型的发明，斧子、轮子、蒸汽机，它们的目的单一，结构一旦确定下来，功能也就确定下来了，不能用于其他用途。
但是计算机可以通信、播放音乐、写作、记账等。它是通用的，其具体的功能取决于程序。
为了理解程序的概念，先来看看没有程序的计算机是什么样子。
人类很早就知道计数，有了数字，就需要有对数字的操作，最典型的就是加法和减法。最早通过手指计数，这种计数方式很方便，不过有一个问题就是不易存储这些数。于是人们就想到了用石子或者绳结来长期存储这些数。可能是在5000年前出现了计数方法，这意味着人类已经把“数”这个概念抽象出来了，然后用了更久的时间才发明了0，至此人们习惯的十进制才成形。
十进制方便了计算，促进了生产和贸易，也就有人专门从事这个职业，计数和计算。这是当时的新兴行业，受过教育的年轻人拿着小刀和泥板，一笔一画地诚实记录、用心计算，日复一日年复一年。这不仅仅是一个脑力劳动还是一个体力活儿，虽然后来出现了算筹和算盘，但是这种手工式的计算本身仍然费时费力。
1642年，19岁的法国人Pascal（历史上著名的数学家、物理学家）发明了加法器，它由齿轮构造而成，通过转动齿轮实现加法，用连杆实现进位。这个发明也影响了Pascal的哲学观，他认为人的思维活动与机械运动没什么差别。
三十多年后，学术巨人Leibniz发明四则运算器，影响了上百年。但是这些机器都受机械结构的影响，功能与性能都不怎么好。
到这个时候，用于计算的工具与历史上其他的发明仍然没有什么差别，依然只是完成某件事情的单一工具。只不过这些机器完成的工作是加减乘除。
真正的突破是19世纪英国的数学家Babbage发明的分析机。Babbage意识到计算的工作是多种多样的，如果为某一个特定的工作单独发明一台机器，那就太烦琐了，能不能有一种通用的机器，可以完成所有这些计算工作？于是Babbage想到了将一个任务的计算工作分解成原子步骤（加减），把这些步骤记录下来，让一台机器从某个地方获取这些步骤，然后顺序执行并可以跳转执行。这就是“程序”的萌芽。
为此，在分析机中，Babbage设计了存储装置，可以存储初始数据及中间结果数据；设计了运算装置来执行加减计算；设计了控制装置，通过指令控制操作步骤。这是一台可编程的计算机器（由于工艺限制，直到Babbage去世也没有造出来）。
有一个叫Ada的女孩（英国著名诗人Byron的女儿），还为这台机器写了程序来计算伯努利数，并提出了循环和子程序的概念，她被称为世界上第一个程序员。
到了这个时候，程序的概念就确立了。一台计算机器能做什么工作，取决于程序。给它乘法程序，它就执行乘法，给它音乐程序，它就播放音乐。所以叫它为“可编程通用计算机”如下图所示。
事实上，通用任务也是有范围的，并不是指世界上所有的工作，它的范围就是“计算”。不要以为这个范围很窄，也不要简单地把计算等同于加减乘除，按照现代观点，科学计算、文字处理、记账、绘图、播放音乐、视频、设备控制以及网络通信这些工作都是计算。
到此，可以基于现代的概念来探讨“程序”“计算机”“数字”了。
先看“数字”。平时用0～9，这10个符号表示10个数字，通过位置表示权，人们叫它十进制系统。虽然日常生活中用得最多的是十进制，但其实还会用到其他的进制，如12进制、60进制（在表示时间时会用到）。理论上，任何进制都是等价的。为什么十进制会成为使用最广泛的进制？历史学家认为原因是人正好有10根手指头，用起来比较方便。
这是一本讲解编程的书，笔者尽量少用数学，不过还是会用到一点。从数学上表示进制是这样的：
±(Sk-1…S2S1S0S-1S-2…S-t)b
S表示符号（比如十进制下的0～9这10个符号），k表示位置，b表示进制基数（如10）。
这个表示的值为：
n=±Sk-1×bk-1+…+S1×b1+S0×b0+S-1×b-1+S-2×b-2+…+S-t×b-t