2.1 叶片泵的基本方程

2.1.1 液体在叶轮内的流动

2.1.1.1 叶轮流道投影图及主要尺寸

叶片泵叶轮的叶片表面一般是空间曲面，为了研究流体质点在叶轮中的运动，必须用适当的方法描述叶轮流道的空间形状。由于叶轮是绕定轴旋转的，故用圆柱坐标系描述比较方便，取z轴与叶轮轴线重合，r沿半径方向，θ则为圆周方向 （图2.1）。

图2.1 圆柱坐标系中速度矢量及分解

工程上都是用图形来表示叶轮和叶片的形状。为了与圆柱坐标系相适应，常用 “轴面投影图”和 “平面投影图”来确定叶轮和叶片的形状。平面投影图的作法与一般机械图的作法相同，是将叶轮流道投影到与转轴垂直的平面 （也称为径向面）上而得。所谓轴面 （也称子午面），是指通过叶轮轴线的平面。轴面投影图的作法不同于一般投影图的作法，它是将叶轮流道的每一点绕轴线旋转一定角度 （圆弧投影）到同一轴面而成。

图2.2给出了离心式和轴流式叶轮的两种投影图，图中不仅反映了叶轮流道的总体和特征形状，还标出了相关的重要尺寸。图2.2（a）中给出了叶轮和叶片的特征直径D，叶槽的宽度b和反映叶片位置和形状的包角φ，安放角βe。图2.2 （b）中给出了叶轮 （轮缘）直径D （Dt），轮毂的直径dh，叶片的平面包角φ以及叶片在轮缘、轮毂处的轴面投影高度ht、hh。所谓叶片的安放角βe是指叶片上任意一点沿叶片骨线 （叶片法向纵断面内切圆圆心的连线）顺流方向和该点圆周切线逆叶轮旋转方向之间的夹角。实践中，习惯于用脚标0代表叶轮的进口，脚标1代表叶片的进口边，脚标2代表叶片 （叶轮）出口边。

叶轮内的流线是空间曲线，若假定流动是理想轴对称的，则空间流线绕轴旋转一周所形成的回转面即为流面。该回转面与轴面的交线也就是叶轮内空间流线的轴面投影，称为轴面流线 （图2.3）。

图2.2 离心泵、轴流泵叶轮流道轴面、平面投影图

（a）离心泵；（b）轴流泵

图2.3 空间流线与空间流面

1—空间流面；2—空间流线；

3—轴面流线

图2.4 混流泵空间流面展开

图2.5 直列叶栅的几何参数

在离心泵叶轮中，上述流面近似称为一个平面，其展开图形同上述平面投影图。混流泵叶轮中，该流面是不可展开的，常用一近似的圆锥面代替，而圆锥面则可以展开为如图2.4所示的平面环列叶栅。在轴流泵叶轮中，它近似成为一个圆柱面，展开后可以成为一个平面直列叶栅 （图2.5）。

如图2.5所示轴流泵的流面展开图是一个减速增压的直列叶栅，栅中安放有翼型 （叶片）。其中各翼型对应点的连线为叶栅列线，栅轴与叶栅列线垂直。叶栅中两相邻翼型对应点的距离为栅距t，在半径为r的流面上t=2πr/Z（Z为轴流泵的叶片数）。翼型骨线两端点的连线为翼弦，其长度通常用l表述。翼弦长l与栅距t之比反映栅中翼型的叶栅稠密度 （实度），其倒数为相对栅距t/l。翼弦长l的顺流方向与列线的逆旋转方向之间的夹角为栅中翼型安放角βey。翼型 （叶片）出口安放角βe2与其进口安放角βe1之差为翼型的弯曲角θ。

2.1.1.2 液体在叶轮中的流动

为了分析液体在叶轮内的运动，了解液体与叶轮之间的相互作用和能量转换的过程，必须了解叶轮流道内液体的运动情况。首先，在水泵正常工作时，液体在叶轮中流动的理想状态为轴对称稳定流。其次，液体的流动主要发生在其不同的流面内，流面层间的相互干扰很少。最后，流体在叶槽中的相对运动主要受叶片表面形状的约束。这里由分析的离心泵叶轮的近似平面内的流动入手。如图2.6 （a）所示，当叶轮旋转时，叶轮叶槽中每一液体质点在随叶轮一起作旋转运动的同时，还在叶轮产生的离心力作用下，相对于旋转叶轮作相对运动 [图2.6 （b）]。如果我们在旋转的叶轮上建立一个随叶轮一起旋转的动坐标系，而在固定不动的泵壳上建立一个静坐标系。由此，液体质点随叶轮一起旋转的运动，称为牵连运动，其速度称为牵连速度，又称圆周速度，用符号表示；液体质点相对于动坐标系——叶轮的运动称为相对运动，其速度称为相对速度，用符号表示；液体质点相对于静坐标系的运动称为绝对运动，其速度称为绝对速度，用符号表示，如图2.6 （c）所示，它等于上述两种运动速度的矢量和。即

图2.6 液体在叶槽内的运动

（a）牵连运动；（b）相对运动；（c）绝对运动

2.1.1.3 速度三角形

式 （2.1）可以用速度平行四边形来表示，如图2.7 （a）所示，为了简便，通常用速度三角形代替速度平行四边形，如图2.7 （b）所示。图中α角是绝对速度与圆周速度之间的夹角，称为液体的绝对流动角；β角是相对速度与圆周速度反方向之间的夹角，称为液体的相对流动角。速度三角形是研究液体在叶轮内流动过程中能量转换的重要工具。如图2.8所示为一般情况下 （如：混流泵）液体质点在叶轮内某空间运动速度的合成与分解。该空间速度三角形平面是和上述相应的空间流面相切的。

图2.7 叶轮内液体质点流动的速度分解与合成

（a）速度平行四边形；（b）速度三角形

图2.8 速度三角形在

叶轮空间的位置

图2.1给出了在该坐标系下叶轮流场中任意流体质点的运动速度矢量及其在圆周、径向与轴向三方向上的分量。即

其中圆周分量vu沿圆周方向，与轴面垂直，该分量对叶轮与流体之间的能量转换有决定性作用。将径向速度vr和轴向速度vz合成：

该速度在轴面内故称为轴面速度 （离心泵叶轮的轴面速度中，对于轴流泵叶轮则是，该分量与流量有密切的关系，故一般情况下只研究速度矢量的两个分量

由于各分量均有正交，故有：

2.1.2 叶片泵的基本方程式及求解

叶片泵基本方程是研究泵性能的理论基础，它反映了泵性能参数之间的相互关系及其性能参数与几何参数之间的关系。泵的基本方程是欧拉于1756年首先导出的，所以也称为欧拉方程。

由于液体在叶轮内运动的复杂性，为了讨论方便，基于上述分析先对叶轮构造和液体在叶轮内的运动作如下4点假定：

（1）液体在叶轮的流动为轴对称稳定流。

（2）叶轮空间流面层间流动无关，轴面流速分布均匀。此假定把一个关于叶轮轴的轴对称的复杂的三维稳定流动问题简化为了一个二维面流动的问题。

（3）叶轮中的叶片数为无限多，叶片的厚度为无限薄，即认为液体质点严格地沿着叶片骨线规定的流线作相对流动。此假定进一步把一个二维面流动的问题理想化为一个一维流动 （流束）问题。

（4）通过叶轮的液体为理想液体。据此可以不考虑液体的可压缩性和黏性。欧拉方程的理论基础是流体力学的动量矩定理：

上式中等式的左边为控制体流体质点系上所受外力对于某轴的力矩之和。等式的右边为该控制体流体质点系关于同一轴的动量矩对于时间的变化率。

取如图2.9所示，根据轴对称稳定流的假定，取全叶轮叶槽内的流体为控制体。在时间t=0时，该控制体处于相对于叶槽的abcd的位置，经过dt时段后，该控制体运动到了efgh位置。根据理想流体不可压缩的假定，在dt时段内由叶片进口边流入叶槽的液体abfe和由叶片出口边流出的液体dcgh的质量相等，用dm来表示。再由流经叶轮的液流为稳定流可知，dt时段内叶槽的液体efcd关于叶轮轴的动量矩是恒定不变的。因此，控制体的动量矩的变化即为质量为dm的液流动量矩的变化。根据动量矩定理可以得出：

式中：R1、R2分别为叶轮进、出口半径，m；v1、v2分别为叶片叶轮进、出口处液流的绝对速度，m/s；α1、α2分别为叶片叶轮进、出口处液流的绝对流动角；∑Mo为作用在控制体上的所有外力对叶轮轴的力矩，N·m。

图2.9 单位时间内流经叶轮的流体的动量矩变化

作用在控制体上的外力矩包括以下各力对叶轮轴的力矩：①叶片正、反两面作用于控制体液流上的压力pfront、pback，且叶片正面压力pfront大于叶片背面压力pback，在叶轮旋转时，也正是这个叶片正、反两面的压力差，叶轮才能够将机械能传给通过叶轮的液流，使液流的能量得到增加；②作用在控制体ab与cd表面的水压力，它们都沿着径向或轴向，故对叶轮轴不产生力矩；③控制体液流与轮盘及叶片表面的摩擦力，在理想流体的假定下，这些摩擦力不予考虑；④控制体液流的重力，对于叶轮内全部液流而言，其重力作用线通过叶轮中心，故也不产生力矩。

在等式两端乘以叶轮的转动角速度ω后，式 （2.7）变为

式中：R1ω、R2ω分别为叶片进、出口圆周速度u1、u2；∑Moω为叶轮单位时间内对液流所做的功，即水功率Pw=ρgQTHT。

将u1、u2及∑Moω=ρgQTHT代入式 （2.8）后得到：

ρgQTHT=ρQT(vu2u2—vu1u1)

消去等式两边的ρQT后即可得到单位重量理想液体流经水泵所获得的理论扬程HT：

式 （2.9）即为叶片泵基本方程的一般表达式。

如前所述在叶轮空间流面层间流动无关的假定条件下，液体质点在叶轮里任意一点的流动都可以用与该液体质点所在空间流面相切的速度三角形来描述。换句话说，只要能够确定某空间流面上叶片进、出口速度三角形，就可以求解式 （2.9）。当给定一个叶轮流量QT流经一个在一定转速下旋转的叶轮时，再引入叶片数为无限多、无限薄的假定便可通过3个已知条件确定叶片进、出口速度三角形，求解欧拉方程。

首先是牵连速度 （三角形的底边）的确定，即

进而，在轴面图上作出若干轴面流线，即可描绘出叶轮内的轴面速度的分布。在轴面图上作一曲线与所有的轴面流线都正交，该线绕轴旋转一周而成的回转称为轴面流动的过流断面。在离心泵叶轮中，则认为它是一个类圆柱面，在轴流泵叶轮中，轴面流动的过流断面就是一个圆环面。这两种情况下，其面积都是易于计算的。换句话说叶片进、出口速度三角形的另一个条件，绝对速度在轴面图上的均布分量 （三角形的高）也是可以确定的，即

式中：Am1、Am2分别为在叶片的厚度为无限薄的假定条件下的叶轮进、出口轴面流动的过流断面面积，m2。

最后，再引入叶片数为无限多的假定，严格限制流经叶轮的液体沿叶片的骨线 （型线）做相对运动，β∞1、2=βe1、2，某空间流面上叶片进、出口速度三角形就此确定。这时，即可求得叶片泵基本方程的解为

应该指出的是流体质点通过不同的流面获得的扬程是不同的，为了获得流面层间能量的平衡，人们会把叶片做成空间扭曲面的形状。

前已述及，在推导叶片泵基本能量方程式时曾作了4点假定。关于轴对称稳定流的假定，在水泵正常运行的条件下一般是可以满足的。关于流面层间流动无关，在客观上人们是在努力保持各流面层间的能量平衡，尽可能地减少层间扰动的发生。但是关于叶片数无限多、无限薄和理想液体的假定与实际状况则有较大差距的。这是因为：①实际水泵叶轮的叶片数是有限的，液体在叶槽内的运动有一定的自由度，液流在叶槽内实际运动状况与无限多叶片假定中的 “均匀一致”的运动状态就有差别；②实际的叶片是有厚度的，液体在叶槽里的流动是要受到一定程度的排挤的；③实际流体是有黏性的，在流动过程中是要产生水力阻力损失的。所以，应用上述的基本能量方程式来研究实际液体在有限叶片叶轮内的能量交换状况时，就必须考虑这几方面的影响，对基本方程进行修正，使基本能量方程符合实际液体在有限多叶片叶轮内的流动状况。关于叶片泵基本方程的修正方面的知识，请参阅有关文献。

2.1.3 基本方程的分析与讨论

（1）水泵扬程的大小仅取决于水质点在叶片出口边、进口边的运动状态的不同及其运动参数的改变，且以叶片出口边为主 （在α1≈90°时，vu1≈0）：

（2）基本方程在推导过程中，液体的密度ρ已被消去，这表明理论扬程HT与被输送流体的种类无关，即基本方程不仅适用于液体，也适用于其他流体，如气体、液气、液固、气固等两相流体。只是应当注意的是，抽送不同介质的流体时，扬程的单位应该用被抽流体介质的米柱数来计算。或者说，同一台泵在抽送不同介质的流体时，所产生的理论扬程值是相同的，但扬程的单位是不同的，例如抽送水时为某水柱高度，抽送油或空气时则为相同数值的油柱或气柱高度。但是，由于抽送介质的密度不同，泵所产生的压力和所需的功率是不同的。当抽取含沙浑水时，由于浑水的密度大于清水，水泵所需的功率将增加，浑水中泥沙的含量越大，增加的功率就越多。因此，对于高含沙水源取水的泵站，采取必要的泥沙防治措施，对节能和提高泵站经济效益具有重要意义。

（3）由出口速度三角形可得，vu2∞=u2—vm2∞cotβe2，而vm2∞=QT/（πD2b2），则式（2.13）可改写为

上式中的，当叶轮的尺寸和转速一定时，均为常数。式 （2.14）表明HT∞与QT的函数关系是线性关系。

实际液体是有黏性的，将使得H与Q的函数关系不再保持式 （2.14）的线性关系。

（4）由速度三角形，根据余弦定理w2=u2+v2—2uvcosα=u2+v2—2uvu，可以将基本能量方程式改变为下列形式：

方程式 （2.15）右边的第一项为液体流经叶轮后的单位动能增量，称为动扬程，用符号Hd表示，即。单位动能的增量越大，说明叶轮出口的绝对速度也越大，这将造成在以后的流动过程中产生大的能量损失，这是我们所不希望的。第二项与第三项之和表示液体流经叶轮后的单位压能增量，称为势扬程，用符号Hp表示，即。

（5）从基本方程可以看出，增大u2 或vu2∞也可以提高泵的理论扬程。由于u2=πD2n/60，所以增大叶轮的转速n或外径D2，都可以使理论扬程增加。由式 （1.9）可知，离心式叶轮的圆盘摩擦损失与叶轮外径的5次方成正比。因此，增大叶轮直径，会使圆盘摩擦损失急剧增加，从而造成泵效率下降，另外，受材料强度、制造工艺以及泵体积和重量等因素的限制，故不能用过分增大叶轮直径的方法来提高泵的理论扬程。用提高转速的办法来增加泵的理论扬程，这是目前水泵设计中考虑的趋势。但是提高转速也受到诸如材料强度和抗汽蚀性能及调速设备的造价等因素的制约。vu2∞的大小则与叶片出口安放角βe2的大小有关，而βe2的大小又将影响叶片的弯曲程度。

2.1.4 叶型分析

2.1.3.1 离心泵叶轮

由式 （2.14）可知，当α1≈90°，叶轮的外径D2、转速n和流量QT一定时，理论扬程HT∞的大小取决于叶片的出口安放角βe2∞。

离心泵叶轮的弯曲形式取决于叶片的出口安放角βe2∞的大小，所以，根据βe2角的大小可将叶片分为如图2.10所示的3种型式。

为了说明理论扬程中势扬程所占比重的大小，在这里引入反作用度的概念。反作用度τ指的是势扬程Hp∞与理论扬程HT∞的比值，即

图2.10 离心泵叶轮叶片型式及其出口速度三角形

（a）后弯式叶片；（b）径向叶片；（c）前弯式叶片

由速度三角形可知，绝对速度v的大小可以用圆周分速vu及轴面分速vm来表示，即

将以上两式代入动扬程Hd∞的表达式得

通常叶轮进、出口的轴面分速vm1、vm2相差不大，故它们的平方差可以忽略不计。如果叶轮进口处的绝对液体流动角α1≈90°，即对离心泵叶轮而言，液体流入叶轮的方向为径向，对轴流式叶轮而言，液体流入叶轮的方向则为轴向，那么在这种情况下，叶轮进口处的圆周分速vu1∞=0，则动扬程Hd∞的表达式可简化为

将上式和式 （2.13）代入式 （2.16），得：

为了便于分析比较，我们分别画出3种叶片形式的出口速度三角形，如图2.11所示，并假定它们的叶轮外形尺寸、转速和流量都是相等的。

图2.11 不同叶片出口安放角下的出口速度三角形

(a)βe2∞＜90°;(b)βe2∞=90°;(c)βe2∞＞90°

（1）后弯式叶片。叶片弯曲方向与叶轮旋转方向相反，叶片出口安放角βe2＜90°，其对应的叶轮称后弯式叶轮。

由图2.10可以很直观的看出具有后弯式叶片叶轮的叶槽流道扩散较缓，相对平顺流畅。因此叶槽内流动局部水力损失相对最小。

由式 （2.14）可知，当βe2＜90°时，cotβe2＞0，理论扬程随叶轮流量的增大而线性下降，且随着βe2的减小，cotβe2值增大，扬程的降幅也在增大。但由于vu2∞＜u2，从反作用度的表达式 （2.17）可知：τ＞1/2。叶轮传递给液流的总能量中，压能所占比例大于动能，说明后弯式叶轮出口的绝对速度v2最小，因此，液体流过叶轮及蜗壳时的能量损失最小。另一方面将液流的部分动能在蜗壳中转换为压能所造成的能量损失也最小。

反作用度随着叶片出口角的减小而增大，当βe2减小至相对于某给定流量的最小角βe2min时，如图2.11 （a）中的速度三角形所示，=0，τ=1，而HT∞=0，这表示水泵未对液体作功，因而这种叶轮对水泵的作用而言是毫无意义的。如果再继续减小叶片出口安放角，并使βe2＜βe2min，那么将有vu2∞＜0，从而HT∞＜0，这就意味着水泵不但没有把能量传递给液体，反而从液体那里吸收了能量。所以，后弯式叶轮的叶片出口安放角βe2不能减小到等于或小于βe2min的程度。

（2）径向式叶片。叶片出口方向为径向 （βe2=90°）的叶轮称为径向式叶轮。

如图2.11 （b）中的速度三角形所示，由于βe2=90°，故cotβe2=0，vu2∞=u2。由式（2.14）和式 （2.17）可知：，τ=1/2。这说明，径向式叶片产生的理论扬程只与叶轮的外径和转速有关，而与通过叶轮的理论流量无关，且产生的总扬程中，势扬程和动扬程各占一半。

（3）前弯式叶片。叶片弯曲方向与叶轮旋转方向相同，叶片出口安放角βe2＞90°的叶轮称前弯式叶轮。

由图2.10可以看出一方面前弯式叶片叶轮的叶槽流道较短，过流断面的扩散较急剧。另一方面为了避免进口处产生漩涡，进口附近的叶片必须后弯，即流道有两个方向不同的弯曲，所以流道呈曲折状。因此，叶轮内的局部流动损失相对最大。

前弯式叶片由于βe2＞90°，则cotβe2＜0，vu2∞＞u2，且vu2∞随着叶片出口角的增大而增大。由式 （2.14）可知，在叶轮外径和转速相同的情况下，前弯式叶轮产生的理论扬程大于后弯式和径向式叶轮。且随着βe2的增大，HT∞的增幅也随之增大。但从反作用度的表达式 （2.17）可知：τ＜1/2，叶轮传递给液流的总能量中，动能所占比例大于压能。因此，液体流过叶轮及蜗壳时的能量损失也最大。而流体的输送主要是靠压能来克服流动过程中的阻力损失，为此需要将液流的部分动能在蜗壳中转换为压能，这种转换将造成很大的能量损失。如图2.11 （c）中的速度三角形所示，相对于某给定流量，存在βe2=βe2max，此时vu2∞=2u2，则τ=0。这就意味着此时叶轮产生的理论扬程全部为动扬程，即叶轮传递给液流的能量全部为动能，液流的势能没有增加，这对为提高液流压力为目的的水泵来说也是没有实际意义的。

综上所述，后弯形叶片的优点是显而易见的，所以，离心泵叶轮叶片出口安放角βe2一般取15°～45°，常用角度多在15°～30°的范围内，相应的反作用度τ=0.70～0.75（即叶轮产生的势扬程占总扬程的70%～75%）。美国学者A.J.Stepanoff在某种条件下推得的叶片出口最佳安放角为βe2=22.5°。

2.1.3.2 轴流泵叶轮

（1）叶片呈空间扭曲状。由基本能量方程可知，液体经过叶轮所获得的能量和圆周速度u及叶片出口绝对速度的周向分速度vu2的乘积成正比，即HT∝uvu2，而在转速一定的情况下，圆周速度u又和半径r成正比。这样，叶片上离转轴中心越远处液体的圆周速度就越大。为了使轴流泵在设计情况下不产生轴面二次回流和有较高的效率，通常要求不同半径上各圆柱流面的叶栅所产生的扬程相等，即

式中：ur、ur+dr分别为不同半径为r和r+dr处的圆周速度；vu2，r、vu2，r+dr分别为不同半径为r和r+dr处叶片出口圆周分速度。

若半径r＜r+dr，则ur+dr＞ur，因此，必须使vu2，r+dr＜vu2，r才能保证上面所列的等式成立。而vu2=u—vmcotβ2，且在流量一定的情况下轴面速度vm不随半径的改变而变化，即半径不同的各圆柱截面上的vm值相等，故只有当βe2，r+dr＜βe2，r时，才能满足两圆柱截面扬程相等的条件，达到设计要求。由此可知，在设计流量不变时，即vm为定值的情况下，半径r越大处的叶片出口安放角应该越小。所以轴流泵的叶片从轮毂到轮缘的不同流面上的栅中翼型安放角βey是不相等的，轮毂流面的栅中翼型安放角βeyh大于轮缘流面的栅中翼

图2.12 轴流泵的空间扭曲叶片

型安放角βeyt，如图2.12所示，轴流式叶轮应该具有呈空间扭曲状叶片。

正是由于轴流泵叶轮的叶片呈空间扭曲状，才导致其高效区窄小。这是因为叶轮的运行工况偏离设计点后，叶片轮毂和轮缘圆周速度之间的比例被破坏，导致不同半径处叶片产生的扬程不再相等和进水条件恶化，从而使泵内的水流紊乱，水力损失增大，偏离设计点越远，水流紊乱程度越大，水力损失也越大。因此，轴流泵具有较窄的高效区。

（2）叶片出口向前弯曲。由于轴流泵叶轮同一圆柱面上的进、出口圆周速度和轴面速度相等，即u1=u2=u和vm1=vm2=vm，因此，理论扬程HT的表达式 （2.12）可改写为

从上式可以看出，在一定的转速和流量下，欲要求HT有较大的正值，就必须要求cotβ1＞cotβ2，即要求叶片进口安放角βe1小于叶片出口安放角βe2。所以，为了有效地发挥叶片对液流的提升作用，叶片角应从进口的βe1逐渐增加到出口的βe2。这就说明了轴流泵叶轮叶片出口向前弯曲的原因。