任务一 平面汇交力系的合成

如果作用在物体上各力的作用线都在同一平面内，而且相交于同一点，则该力系称为平面汇交力系。例如，起重机起吊重物时［图3-1（a）］，作用于吊钩C的三根绳索的拉力F、F_A、F_B都在同一平面内，且汇交于一点，组成平面汇交力系［图3-1（b）］。又如图3-2所示的桁架的结点作用有F₁、F₂、F₃、F₄四个力，且相交于O点，也构成平面汇交力系。

平面汇交力系的合成可采用几何法和解析法。这里仅讨论以力在坐标轴上的投影为基础的解析法。

一、力在平面直角坐标轴上的投影

如图3-3所示，在力F作用的平面内建立直角坐标系Oxy。由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线，得垂足a、b，则线段ab冠以适当的正负号称为力F在x轴上的投影，用F_x表示，即F_x=±ab；同理，力F在y轴上的投影F_y=±a′b′。

投影的正负号规定如下：若从起点到终点的方向与轴正向一致，投影取正号；反之，取负号。由图3-3（a）、（b）可知，投影F_x和F_y可用式（3-1）计算：

式中：α为力F与x轴正向所夹的锐角。力在轴上的投影为代数量，投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦，其正负可根据上述规则直观判断确定。

图3-3（a）、（b）还画出了力F沿直角坐标轴方向的分力F_x和F_y。应当注意的是，力的投影F_x、F_y与力的分力F_x、F_y是不同的，力的投影只有大小和正负，它是标量；而力的分力是矢量，有大小，有方向，其作用效果还与作用点或作用线有关。当Ox、Oy轴垂直时，力沿坐标轴分力的大小与力在轴上投影的绝对值相等，投影为正号时表示分力的指向和坐标轴的指向一致，而当投影为负号时，则表示分力指向与坐标轴指向相反。

【例3-1】 已知F₁=100N，F₂=50N，F₃=60N，F₄=80N，各力的方向如图3-4所示。试分别求出各力在x轴和y轴上的投影。

解：由式（3-1）可求出各力在x、y轴上的投影:

二、合力投影定理

设刚体受一平面汇交力系F₁、F₂、F₃作用，如图3-5（a）所示。在力系所在平面内作直角坐标系Oxy，从任一点A作力多边形ABCD，如图3-5（b）所示。

图中：=F_R。

各分力及合力在x轴上的投影分别为

由图可知：F_R=ad=ab+bc-cd

由此可得

同理，合力与各分力在y轴上的投影关系是

将上述关系推广到由n个力F₁、F₂、…、F_n组成的平面汇交力系，则有

即，合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。这就是合力投影定理。

三、平面汇交力系的合成

由项目二力的多边形法则可知，平面汇交力系可以合成为通过汇交点的合力，现用解析法求合力的大小和方向。设有平面汇交力系F₁、F₂、…、F_n，如图3-6（a）所示，在力系所在的平面内任意选取一直角坐标系Oxy，为了方便，取力系的汇交点为坐标原点。应用合力投影定理，即式（3-2）可求合力在正交轴上的投影F_Rx和F_Ry。由图3-6（b）中的几何关系，可得出合力F_R的大小和方向为

式中：α为合力F_R与x轴所夹的锐角，合力的指向由∑F_x和∑F_y的正负号决定，合力作用线通过力系的汇交点。

【例3-2】 求图3-7所示平面汇交力系的合力。

解：取直角坐标系如图3-7所示，合力F_R在坐标轴上的投影为

因F_Rx、F_Ry均为负值，所以F_R在第三象限，如图3-7所示。