3.4　平面任意力系的平衡条件和平衡方程

平面任意力系平衡的必要与充分条件：力系的主矢和对任意点的主矩均等于零。即

由式（3-13）和式（3-15）得

可简写成：

方程（3-17）就是平面力系平衡方程式的基本形式，它由两个投影式和一个力矩式组成，即平面力系平衡的充分和必要条件是各力在作用面内对直角坐标轴上的投影之代数和以及各力对作用面内任意点O矩的代数和同时为零。式（3-17）是三个独立方程，最多只能解三个未知力。

用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。平衡方程式的形式还有二力矩式和三力矩式两种。

二力矩式方程为

其中x轴（y轴）不能与A、B连线垂直。

方程式（3-18）也完全表达了力系的平衡条件：由∑MA＝0知，该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力或者平衡；又由∑MB＝0知，若该力系有合力，则合力作用线必通过A、B两点；最后由∑Fx＝0知，若有合力，则它必垂直于x轴；而根据限制条件，A、B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，从而证明了所研究的力系必定为平衡力系。

三力矩式方程为

其中A、B、C三点不共线。

由∑MA＝0，∑MB＝0知，该力系只可能有作用线过A、B两点的合力或是平衡力系；而由∑MC＝0且C点不在A、B连线上知，该力系无合力，为平衡力系。

总之，平面任意力系共有三种形式的平衡方程，但求解时应根据具体问题而定，只能选择其中的一种形式，且列三个平衡方程，最多只能求解三个未知力。若列第四个方程，它是不独立的，是前三个方程的线性组合；同时，在求解时应尽可能地使一个方程含有一个未知力，避免联立求解，这一点学习时应多作练习。

【例3-5】　用平面任意力系的平衡方程求解[例3-1]。

解：若在受力分析中不利用三力平衡汇交定理，则B处约束反力亦可由一对正交分力FBx与FBy表示，如图3-12所示。这样踏板上所受的就是一个平面任意力系，于是需要选用平面任意力系的平衡方程，如基本式（3-17）。选用坐标如图3-12所示，并以B点为矩心。

另外，注意到题中BC未知，但在上式第三个方程中可约去。

由上式可解得

为了与前面的结果进行比较，可将FBx与FBy合成为FB，即

FB的方向可由角α表示

所以α＝150°，与前面的结果一致。注意这里的α是力FB与x轴正向之间的夹角。