2.2 多作物灌溉供水量最优分配动态规划模型
为提高灌区的效益，增加农民收入，灌区的种植结构多种多样，在灌区供水量一定的情况下，不同种植作物之间用水存在竞争性。针对灌区水源短缺情况，建立一种对有限水量在多种作物之间进行最优分配的两层分解协调模型：第一层为基于作物水分生产函数，求解单作物非充分灌溉条件下最优灌溉制度的动态规划模型；第二层为将有限水量在多种作物之间进行最优分配的动态规划模型。实例计算表明，模型合理可行。
2.2.1 研发目的
在灌区总灌溉水量不足的条件下，应将有限的水量最优地分配给不同的作物，各种作物在获取一定灌溉水量后，又应将它在不同生育阶段进行合理分配，从而确定水源的最优配水过程，以使灌区总效益最大，不同作物之间的配水属于整个灌区大系统的优化，而作物各生育阶段之间的配水属于每个作物子系统的优化。将作物子系统作为第一层，灌区大系统作为第二层，通过分配给每种作物的供水量将两层联系起来，则成为一个具有两层谱系结构的大系统，适合用大系统分解协调模型求解。基于现实需求，本节提出了求解有限灌溉供水量最优分配的分解协调模型（见图2-4）。模型分两层，第一层为单作物优化，它建立在作物水分生产函数基础上，求解单作物非充分灌溉条件下优化灌溉制度的动态规划模型。其作用是把由第二层模型分配给第K种作物的净灌溉水量Qk，在该作物的生育期内进行最优分配；第二层模型为全灌区多作物协调，它是求解水源缺水时多种作物之间水量最优分配的动态规划模型。其作用是利用第一层反馈的效益指标F（Qk）（最大相对产量），把有限的总灌溉水量V0 在M种作物之间进行最优分配。模型运行时，首先由第二层分配给第一层每个独立子系统 （每种作物）一定水量Qk，每个子系统在给定Qk后，各自独立优化，得最优效益F（Qk），并将其反馈给第二层；第二层根据反馈的F（Qk），计算全系统效益G，同时，改变上次分配的Qk，得到一组新的效益函数F（Qk）及全系统效益G，直至得到全系统最优效益Gmax为止。此时，可得出各种作物相应的优化灌溉制度，亦可得出水源最优配水过程。上述模型通过分解协调将由M种作物组成的大系统分解为M 个相同的子系统，由全灌区协调层对M个子系统进行协调，从而降低了问题的维数，使之便于求解。
图2-4 灌区水量优化分解协调模型
2.2.2 数学模型
2.2.2.1 单作物优化灌溉制度模型
单作物灌溉制度的优化，是以作物水分生产函数为依据，用动态规划求解净灌溉水量在作物各生育期的最优分配，数学模型如下（以第K种作物为例）。
1.阶段变量
根据作物生育过程，把其全生育期划分为N个生育阶段，以生育阶段为阶段变量，i=1，2，…，N。
2.状态变量
状态变量为各阶段初可用于分配的水量qi及初始田面蓄水深度hi（对水田）或计划湿润层内可供作物利用的总有效水量hi（对旱作或无水层水田）， i=1，2，…， N。对后者，hi计算如下：
式中 hi——计划湿润层内可供作物利用的总有效水量，mm；
r——土壤干容重；
H——计划湿润层深度，m；
θ——计划湿润层内土壤平均含水率，以占干土重的百分数计；
θ m——土壤含水率下限，以占干土重的百分数计，对于旱作物，取占田间持水率的60%，对于水稻等，取占饱和含水率的80%。
3.决策变量
决策变量为各生育阶段的灌水量mi，i=1，2，…， N。
4.系统方程
系统方程有两个：
（1）水量分配方程：
式中 qi——第i阶段初可用于分配的水量，m3；
m i——第i阶段的灌水量，m3；
R i、Li——第i阶段可用于分配水量的增加量及其他用水量，m3。
（2）田间水量平衡方程：
式中 pi——有效降雨量；
I i——灌水定额，mm；
ET i——蒸发蒸腾量，mm；
C i——排水量，对旱作物，其值为0；
CK i——地下水补给量，有水层时，其值为0，mm；
K i——渗漏量，mm。
K i按下式计算：
式中
——水稻田有水层情况下田间日平均蒸发蒸腾量及渗漏量，mm；
D i、di——第i阶段生育期天数及田面有水层天数近似值；
K 0——饱和水力传导度，m/d；
a——经验常数；
H——作物主要根系层深度，m，等价于式（2-13）的H；
j——从饱和条件到达计算日的天数，d。
5.目标函数
生产函数可采用Jensen模型，以单位面积实际产量与最高产量比值最大为目标，即
式中 λi——第i阶段作物敏感指数；
——正常灌溉下第i阶段蒸发蒸腾量，mm。
6.约束条件
式中 Qk——全生育期可用于分配的净水量，m3，即协调层分配给第K种作物的净水量；
H max，i——田面蓄水上限值，mm；
θ s、θf——饱和含水率及田间持水率，以占干土重的百分数计。
7.初始条件
式中 h0——初始田面水深，mm；
θ 0——初始计划湿润层土壤平均含水率。
8.递推方程
本子模型为具有两个状态变量和一个决策变量的动态规划问题，采用逆序递推，顺序决策计算，递推方程为：
式中
（qi+1，hi+1）——在当前状态qi和hi下，作决策mi时，其余留阶段的相对最大产量。
2.2.2.2 多种作物之间水量最优分配模型
此模型可以用线性规划、非线性规划或动态规划求解。但由于灌水与其所产生的效益之间的非线性关系较为复杂，有时甚至只能用离散的表格形式表示效益函数，这里用动态规划模型求解模型二。引入“时间”因素，每种作物为一个用水单位，看作一个阶段，把同时对多种作物进行水量最优分配问题，包括各作物灌溉期相互重叠及不重叠情况，看作分阶段依次对各种作物进行水量分配问题。
（1）阶段变量。以每种作物为一个阶段，设有M种作物，则阶段变量K=1，2，…，M。
（2）状态变量。状态变量为各阶段（每种作物）可用与分配的总水量Vk。
（3）决策变量。决策变量为分配给每种作物的净灌溉水量Qk。
（4）系统方程。即各作物之间水量平衡方程：
式中 Vk——第K种作物可用与分配的总水量，m3；
Q k——分配给第K种作物的净灌溉水量，m3；
η——灌溉水利用系数。
（5）目标函数。以各种作物净效益之和G最大为目标，即：
式中 Ak、YMk、PRk——第K种作物的种植面积，hm2；丰产产量，kg/hm2及单价，元/kg；G的单位为万元。
（6）约束条件：
式中 V0——灌区总的可供水量，m3。
（7）初始条件：
（8）递推方程。采用逆序递推，顺序决策计算，递推方程为：
2.2.3 实例研究
某灌区的主要灌溉作物有双季早、晚稻及马蹄3种，选用某中等干旱代表年进行计算，计算所用资料列于表2-1（Ri=Li=CKi=0， i=1，2，…， N）。运用表2-2资料，由前述模型计算，结果见表2-2、表2-3。可见，由于实际净灌水量12000万m3比充分供水时的净灌水量16920万m3少了近30%，因而3种作物都只能采取非充分灌溉，由于3种作物在相同的缺水程度下，水的投入产出比不同，因此，根据效益最大准则得出的3种作物的缺水程度及相应的减产程度是不同的。早稻的缺水及减产程度均最大，晚稻次之，马蹄最小，基本接近丰产水平。表2-3是根据表2-2中各作物的灌溉制度及其各生育阶段所在日期，将水量按各生育阶段在各旬中所占天数平均分配，各作物累加得各旬的净灌水量，用它除以灌溉水利用系数，得到水源的最优放水过程。表2-3中由于没有计入泡田用水量，故在7月下旬到8月上旬放水量较少。
表2-1 实例基本资料
注 对水稻，阶段①～⑤代表返青分蘖、拔节孕穗、抽穗开花、乳熟及黄熟期，对马蹄，阶段①～④代表分蘖分株、开花结果、球茎膨大及果齐成熟期。
表2-2 各作物及其各生育阶段水量优化分配
表2-3 水源优化配水过程
2.2.4 小结
本节提出了一种在水量不足情况下求解水量在多种作物之间分配的两层分解协调模型，模型以独立的单作物各生育期内水量最优分配子系统（第一层）为基础，通过全灌区多作物协调层（第二层）实现了各种作物之间供水量的最优分配，从而较好地解决了在供水不足情况下多作物竞争性用水及水源优化供水问题，实现了灌区效益最大化。