2.3 风轮模型
2.3.1 风力发电机的基本特性及模型
风能是空气流动产生的动能，由流体力学可知，气流的动能为
式中 m——气流的质量；
v——气流的瞬时速度。
设单位时间内气流流过截面积为S的气体的体积为V，则
该气体的空气质量为
式中 ρ——气体密度（在15℃的海平面平均气压下为1.225kg/m3）。
则单位时间内流过风轮的气流所具有的动能，即风功率为
式（2-25）给出了风中理论上可以开发利用的能量，其大小随风速的立方而变化，如果风速加1倍，风能则增至8倍。然而，风力机无法从风中全部提取上述能量，当风流过风力机时，一部分动能传递给风轮，剩下的能量被流过风力机的气流带走。叶轮输出的实际功率取决于能量转换过程中风与风轮相互作用时的效率，即风能利用系数Cp，所以风力机的实际输出机械功率为
风能利用系数（Cp）是表征风力机效率的重要参数，代表了风轮从风能中捕获功率的能力，它与风速、叶片转速、叶片直径、叶片桨距角（β）均有关系。为了便于讨论Cp的特性，定义风力机的另一个重要参数叶尖速比（λ），即叶片的叶尖线速度与风速之比为
式中 Rt——叶片的半径；
ωt——叶片旋转的转速。
风力机的运行特性可分为定桨距和变桨距两种。定桨距的风力机的主要结构特点是：风轮的桨叶与轮毂是固定的刚性连接，即当风速变化时，桨叶节距角保持不变，此时风能利用系数只与叶尖速比有关，可用一条曲线描述Cp（λ）特征，如图2-3所示。Cp（λ）曲线反映的是标幺化之后的风力机特性，不同厂商、不同功率的风力机的Cp（λ）特性是非常相似的。从该曲线可以看出，对一特定的风力机，有唯一的λ使得Cp最大，称为最佳叶尖速比λ。pt，对应最大风能利用系数为Cpmax。从图2-3可以看出，当叶尖速比大于或小于最佳叶尖速比时，风能利用系数都会偏离最大风能利用系数，引起机组效率的下降。一般λopt为8～9，即叶尖速是风速的8～9倍时，风能利用系数最大。
变桨距风力机的结构特点是：风轮的叶片与轮毂通过轴承连接，需要功率调节时，叶片就相对轮毂转一个角度，即改变叶片的桨距角。图2-4是变桨距风力机的特性曲线，当桨距角逐渐增大时，Cp（λ）曲线向下移动，即Cp随之减小。因此，调节桨距角可以限制捕获的风电功率。当功率在额定功率以下时，控制器将叶片桨距角置于0°附近，不作变化，可认为等同于定桨距风力发电机组，发电机的功率根据叶片的气动性能随风速的变化而变化。当功率超过额定功率时，变桨距机构开始工作，调整叶片桨距角，将发电机的输出功率限制在额定值附近。
图2-3 桨距角固定时的风力机特性曲线Cp（λ）
图2-4 不同桨距角下的风力机特性曲线Cp（λ.β）
变桨距风力机与定桨距风力机相比具有以下特点：
（1）由于变桨距风力机功率调节不完全依靠叶片的气动性能，所以具有在额定功率点以上输出功率平稳的特点。
（2）对于定桨距风力机，一般在低风速段的风能利用系数较高，当风速接近额定点时，风能利用系数开始大幅度下降。而变桨距风力机，由于桨叶的桨距角可以控制，使得在额定功率点仍然具有较高的风能利用系数。
（3）变桨距风力机由于能调整叶片角度，故功率输出不受温度、海拔、气流密度的影响。
（4）变桨距风力机在低风速时，桨叶可以转动到合适的角度，使风轮具有最大的启动转矩，从而比定桨距风力机更容易控制。
（5）变桨距风力机轮毂结构复杂，制造、维护成本高。
不同厂商风力机的Cp（λ，β）曲线是非常相似的，因此，在电力系统仿真中常用较为通用的高阶非线性函数来描述其特性。理论研究中可采用以下函数计算
式（2-28）中的c1～c9为Cp曲线的拟合参数，对不同风力机的特性曲线进行拟合后得到的上述参数略有不同。为了使式（2-28）拟合的曲线与制造商提供的曲线之间的误差最小，一般采用多维优化。
2.3.2 贝兹理论
风力发电的过程是将风能转化为机械能，再将机械能转化为电能。在这个过程中，风力机捕获风能的过程起了相当重要的作用，它直接决定了最终风力发电机组的转换效率。但是不管采用什么形式的风力机，都不可能将风能全部转化为机械能。因此在研究风力发电的时候定义了一个风能利用系数Cp，用来评价风力机所吸收能置的程度。
为了讨论这个问题，德国的贝兹（Betz）于1926年建立了风力机的第一个气动理论。他假定风轮是理想的，没有轮毂，具有无限多的叶片，气流通过风轮时没有阻力；并假定气流经过整个风轮扫掠面是均匀的，并且气流流过风轮前后的速度均与轴同方向。
如图2-5所示，v为通过风力机截面S的实际速度，v1为风力机上游远处的风速，v2为风力机下游远处的风速。假设空气是不可压缩的，由连续条件可得
图2-5 风轮的气流图
由气流冲量原理可得叶轮所受的轴向推力为
叶轮单位时间内吸收的风能——叶轮吸收的功率为
由动能定理可知单位时间内气流所做的功为
在叶轮的前后，单位时间内气流动能的改变量为
此即气流穿越叶轮时，被叶轮吸收的功率，因此得出
整理得
即穿越叶轮的风速为叶轮远前方和远后方风速的均值。
将式（2-35）代入式（2-33）可得
通常v1是已知的，所以P可以看成是关于v2的函数，将式（2-36）对v2求导并令其为零，得v2＝
v1，由此可求得功率的最大值为
将式（2-37）除以气流通过扫风面S时所具有的动能，可得到风轮的理论最大效率（或称理论风能利用系数）为
这就是著名的贝兹定理，它说明风轮从自然界中所获得的能量是有限的，理论上最大值为原有能量的0.593倍，其损失部分可解释为留在尾迹中的气流旋转动能。现代三桨叶风力机在轮毂处实测的最优Cp值为0.52～0.55。而最终的风能利用系数还要考虑机械能转化为电能时的损耗，目前风电机组将风电功率转化为电气功率的最优利用系数为0.46～0.48。
2.3.3 风力机的功率—转速特性
从上面的分析可知，在某一固定的风速v下，随着风力机转速的变化，Cp值也会相应变化，从而使风力机输出的机械功率随之变化。对于一特定风力机，Cp（λ）特性曲线已知，桨叶半径Rt为常数，则可建立不同风速下描述Cp与发电机转速ωr关系的特性曲线簇Cp（ωr，v），如图2-6所示。风力机在固定风速下的最优运行点对应唯一的风轮转速，随着风速增加，Cp（ωr）曲线向右移动，转速也需随之而增加才能捕获最大功率。根据式（2-26）可进一步得到风力机捕获的机械功率和转速之间关系的曲线簇Pm（ωr，v），如图2-7所示。
在图2-7所示的曲线簇中，连接最大功率点即可得到功率最优曲线P。pt（ωr）。风力机运行于最优点时（即λ＝λopt、Cp＝Cpmax），根据式（2-27）可得风速和转速的关系为
将式（2-39）代入（2-26）中，可得在最优运行点风力机捕获的功率为
图2-6 不同风速下Cp（ωr，v）特性曲线
图2-7 不同风速下风力机功率与转速的关系及最大功率跟踪曲线
式中：
，为最优功率曲线系数。由式（2-40）可知，对于特定的风力机，其最佳功率曲线是确定的，最大功率和转速呈三次方成正比关系。对应的转矩为
变速风力机的转速可以在很宽的范围内调节，以使叶尖速比保持在λopt的范围内，而风能利用系数达到最大值。因而在很宽的风速范围内，变速风力发电机组的功率输出将高于恒速风力发电机组，在更高风速时，风力机通过变桨距控制使机械功率保持在额定水平，避免机械和电气系统因过载而损坏。
2.3.4 风力机的功率跟踪曲线与运行区域
根据不同的风速，变速恒频风力发电机组的运行范围一般可以划分为四个区域。在不同的区域内不仅控制手段和控制任务各不相同，而且风力机和发电机的控制重点和协调关系也不相同。
第一个运行区域是启动并网区域，此时风速从零上升到切入风速，并保持一段时间，风力发电机组解除制动装置，由停机状态进入启动状态。这个区域的主要控制目的是实现风力发电机组的并网，其中风力机的变桨距控制使发电机快速平稳升速，并在转速达到同步范围时针对风速的变化调节发电机转速，使其保持恒定或在一个允许范围内变化。
第二个运行区域是最大功率跟踪区域。此时风力发电机的转速小于最大允许转速，风力发电机组要保持变速恒频运行。在这个区域内实行最大风能追踪控制，保证风力机在最大风能利用系数Cpmax下运行，因此该区域又称为Cp恒定区。在Cp恒定区追踪最大风能时，风力机控制子系统进行定桨距控制，即将桨距角设定在最大风能吸收角度，发电机控制子系统通过控制发电机的输出功率来控制机组的转速，实现变速恒频运行。
第三个运行区域是转速恒定区。随着风速的增大，机组的转速也在增大，最终达到机组允许的最大转速，但风力机输出功率未达到最大限度，风力机维持该转速不变，即在恒转速下运行，在此区域一般是由风力机控制子系统通过变桨距控制来实现转速控制任务。
通过以上分析可知，第二区域和第三区域都是在额定风速以下的区域，此时风力发电机已并入电网运行，获得的能量转换成电能输送到电网。
第四个运行区域为恒功率运行区域。当风速继续增加时，风力机输出功率也继续增大，最终导致发电机和变换器的功率达到极限。因此，此运行区域的控制目标是保证机组的功率在额定值附近而不会超过功率极限。风力机通过调节桨距角实现在风速增加时机组转速降低，Co值迅速降低，从而保持功率恒定。
图2-8 风力发电机组的功率跟踪曲线与运行区域
从上面的讨论可以看出，在风速变化过程中，风力发电机组运行在不同的区域各有不同的控制任务和控制方法，如图2-8所示。图2-8中OA为启动阶段，对发电机进行并网控制，发电机无功功率输出；AB段为Cp恒定区，机组随着风速作变速运行以追踪最大风能；BC段为转速恒定区，随着风速增大，转速保持恒定，功率将增大；CD段为功率恒定区，随着风速增大，控制转速迅速下降以保持恒定的功率输出。
根据变速恒频风力发电机组的不同运行区域，可将基本控制方式确定为：低于额定风速时，实行最大风能追踪控制或转速控制，以获得最大的能量或控制机组转速；高于额定风速时，实行功率控制，保持功率输出稳定。
图2-8所示的风力发电机的功率跟踪曲线用于给定发电机有功参考指令
，可由转速反馈ωr计算得出，即
式中 ω0——风机并网的初始转速；
ω1——进入转速恒定区时的初始转速对应的电角速度；
ωmax——风力发电机转速限幅值对应的电角速度；
Pmax——风力发电机输出有功功率限幅值。
2.3.5 风力机的功率调节
风力机的功率调节是风力发电机组的关键技术之一。当风速超过额定风速（一般为12～16m/s）以后，由于叶片的机械强度和发电机、电力电子容量物理特性的限制，必须降低风轮的能量捕获，使功率输出保持在额定值附近。同时也减少了叶片承受的负荷和整个风力机受到的冲击，从而保证了风力机的安全。目前常见的功率调节方式主要有定桨距失速调节、变桨距调节、主动失速调节三种方式。其中，定桨距失速控制最简单，利用高风速时升力系数和阻力系数的增加，限制功率在高风速时保持近似恒定。变桨距调节通过转动桨叶片安装角以减小攻角。高风速时减小升力系数，以限制功率。叶片主动失速调节简单可靠，利用桨距调节，在中低风速区可优化功率输出。
图2-9 风力机功率调节原理
图2-9中，vw为轴向风速；β为桨距角，是桨叶回转平面与桨叶截面弦长之间的夹角；α为攻角，是相对气流速度和弦线之间的夹角；F为作用在桨叶上的力，可以分解为Fd和F1两部分。其中F1与风速vw垂直，称为驱动力，使桨叶旋转；Fd与风速vw平行，称为推力，作用在塔架上。
1.定桨距失速调节
定桨距是指风轮的桨叶与轮毂之间是刚性连接，叶片的桨距角不变。由于叶片的上下翼面形状不同，当气流流过时由于凸面的弯曲而使气流加速，气压较低；凹面较平缓使气流速度减缓，压力较高，压差在叶片上产生由凹面指向凸面的升力。如图2-9（a）所示，桨距角β不变，当风速vw增加时攻角α相应增大，造成上下翼面压力差减小，致使阻力增加升力减少，从而限制了功率的增加，这种现象叫做叶片失速。
失速调节叶片的攻角沿轴向由根部向叶尖逐渐减少，因而叶片根部先进入失速，随风速增大，失速部分向叶尖处扩展，原先已失速的部分，失速程度加深，未失速的部分逐渐进入失速区。失速部分使功率减少，未失速部分仍有功率增加，从而使输入功率保持在额定功率附近，这就是失速调节的原理。
由此可见定桨距失速控制由于没有功率反馈系统和变桨距角执行机构，使得整机结构简单、部件少、造价低，并具有较高的安全系数。但失速控制方式主要依赖于叶片独特的翼型结构，造成叶片本身结构复杂而且工艺难度也较大。随着功率增大，叶片加长，所承受的气动推力大，使得叶片的刚度减弱，失速动态特性变得不易控制，所以目前很少应用在兆瓦级以上的大型风力发电机组的功率控制上。
2.变桨距调节
变桨距型风力发电机组能使风轮叶片的安装角随风速而变化，桨距角的微小变化对功率输出有显著的影响。对于一定的风况条件，可以通过对叶片桨距角进行适当的调节，使设计的风轮运行在最佳风能捕获状态。
变桨距风力发电机功率调节的原理是：风轮的桨叶在静止时，叶尖桨距角β＝90°，这时气流对桨叶不产生转矩，整个桨叶实际上是一块阻尼板。当风速达到启动风速时，桨叶向0°方向转动，直到气流对桨叶产生一定的攻角，风轮开始启动。
如图2-9（b）所示，当桨距角β＝0°时，风力机正常运转，而发电机的输出功率还小于其额定功率时，风力机应尽可能地捕捉较多的风能，所以此时没必要改变桨距角，其功率输出完全取决于风速及桨叶的气动性能，由于此阶段风力机工作在欠功率状态，故整机效率并未达到最大。风速增大，当风力机功率高于额定功率时，桨距角向迎风面积减少的方向转动一个角度，相当于增大桨距角β，减小攻角α，从而将功率输出始终保持在额定功率值附近。
变桨距调节风力机的优点是在阵风时，塔架、叶片、基础受到的冲击比失速调节风力发电机组要小很多，同时降低了材料使用率和整机重量。但它也有明显的缺点：需要有一套比较复杂的桨距调节机构，要求变桨距系统对阵风有足够快的响应速度，减轻由于风的波动引起的功率脉动。
3.主动失速调节
主动失速调节方式是前两种功率调节方式的组合，如图2-9（c）所示。在高风速时，变桨距控制是使桨叶顺风转动以减小升力，功率的显著降低需要桨距角较大的变化。而主动失速调节方式是使桨叶逆风转动，风力机达到额定功率后，调节桨距角β使其向减小的方向转动一个角度，由此相应的攻角α增大使叶片失速效应加深，从而限制风能的捕获。主动失速控制只需较小的桨距角变化，敏感性很高，需要准确地控制桨距角。
通过上述分析可知，桨距角控制器仅在高风速时有效。此时，风轮转速不能再通过增加发电机功率来控制，否则会使发电机或变流器过载。因此，通过改变桨距角来限制风轮的气动效率，防止风轮转速过高，导致机械破坏。最优桨距角在额定风速时约为零，高于额定风速，最优桨距角随风速增加稳定地增加。
变桨距风力机的桨距角由桨距伺服来控制。主控制系统产生参考桨距角，桨距伺服是执行机构，实际控制风力机桨叶旋转到要求的角度。桨距伺服受结构限制，如角度限制βmin和βmax，即叶片仅能在某物理限度内转动。对主动失速控制性风力机，允许范围是-90°～0°（甚至正角度），而对桨距控制型风力机，允许角度为0°～90°（甚至负角度）。同理，应该考虑到桨距角不能迅速改变，仅能以有限速率变化，而且由于现代风力机风轮叶片尺寸很大，此速率很低。一般来讲，桨距控制型风力机角度灵敏性较高，对它的调浆速度限制会比主动失速控制型风力机更高。桨距角变化的最大速率是3°/s～10°/s，取决于风力机的尺寸。由于桨距角仅能缓慢变化，桨距角控制器工作的采样频率fps为1～3Hz。另外，变浆机构应尽可能的小，以利于节省成本。
图2-10为桨距角控制器原理图，采用比例控制器调节桨距角。用此控制器类型意味着风轮转速允许超过其额定值一定量，这取决于选择的Kp常数值。
图2-10 桨距角控制器原理图