3.1　勒贝格积分理论

前面介绍过积分的概念，彼时所讨论的积分首先是由黎曼（Riemann）严格定义的，因此之前所研究的积分通常称为黎曼积分，简称R积分。黎曼积分在数学、自然科学或者工程科学中具有非常重要的作用，正如前面所介绍的那样，诸如弧长、面积、体积、做功、通量等概念都可以借助黎曼积分表达。然而，随着现代数学和自然科学的发展，黎曼积分的缺陷也逐渐显现。这时勒贝格（Lebesgue）积分便应运而生了。在介绍勒贝格积分的概念之前，有必要介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，这些内容是建立勒贝格积分的必要前提。

3.1.1　点集的勒贝格测度

点集的测度是区间长度概念的推广。设E为直线R上任意一个点集，用mE表示E的测度。如果E是直线上的区间（a，b），或者E=[a，b]、（a，b]、[a，b），那么自然会想到可以定义该区间的长度b-a为它的测度，即mE=b-a。如果E是直线上的开集，那么可以根据开集构造定理定义它的测度。

定义　设G为直线上的有界开集，定义G的测度为它的一切构成区间的长度之和。也就是说，若

其中，（α_k，β_k）是G的构成区间，则

如果G的构成区间只有n个，那么上式右端是有限项（n项）之和，即

如果G的构成区间是可数多个，那么上式右端是一个无穷级数

由于G是有界开集，因此必然存在开区间（a，b），使G⊂（a，b），所以对于任何有限的n，有

从而有

令n→+∞，得

这表明无穷级数是收敛的，所以上述定义是有意义的。

定义　设F为直线上的有界闭集，F⊂（a，b），则G=（a，b）-F是有界开集，定义F的测度为

mF=（b，a）-mG

需要说明的是，由属于集A但不属于集B的元素的全体构成的集合称为A与B的差集，记为A-B。可以证明，闭集F的测度mF与区间（a，b）的选择无关。

在直线上，除去开集和闭集之外，还存在大量的既不开也不闭的集合，例如有理数的点集与无理数的点集等。那么又该如何定义它们的测度呢？已知圆的面积既可用其外切正多边形的面积从外面逼近，也可以用其内接正多边形的面积从里面逼近，而且用这两种方法所得的结果也应相等。在做微积分时，也是用这种思想定义任意曲边梯形的面积的。不妨从这个角度定义一般的有界点集的测度。

定义　设E为直线上的任意一个有界点集，称所有包含E的开集测度的下确界为集E的外侧度，记作m^∗E，则

m^∗E=inf{mG|G⊃E，G为开集}

而把所有包含于E的闭集测度的上确界称为集E的内测度，记作m_∗E，则

m_∗E=sup{mF|F⊂E，F为闭集}

显然，m_∗E≤m^∗E。事实上，由F⊂E⊂G可知

m_∗E=sup{mF|F⊂E，F为闭集}≤mG

从而有

m_∗E≤inf{mG|G⊃E，G为开集}=m^∗E

定义　设E为直线上的有界点集，若m^∗E=m_∗E，则称E为勒贝格可测集，简称为L可测集，它的外侧度与内测度的共同值称为E的勒贝格测度，简称为E的L测度，记作mE，则

mE=m^∗E=m_∗E

本节后续提及的可测集与测度均为L可测集与L测度。

直线上的区间，有界开集与有界闭集都是L可测的，而且它们的勒贝格测度与前面定义的测度相同。不仅如此，L可测集还包含更广泛的集类。

点集的测度既然是区间长度概念的推广，那么它理应保持区间长度的一些基本属性。设X=[0，1]为基本集，那么它的任意子区间I的长度mI显然具有下列基本性质。

（1）非负性：mI≥0；

（2）有限可加性：设I₁和I₂是区间[a，b]的两个子区间，若I₁∩I₂=，则m（I₁∪I₂）=mI₁+mI₂。

在直观上，有限可加性表达了“总量等于各分量之和”这个简单的公理，但这个公理的更完整表述应该是：设{I_n}是X=[a，b]中可列个子区间，n=1，2，…，并且I_i∩I_j=，i≠j，则

称该性质为可列可加性（或完全可加性）。

区间长度mI还有很多其他的性质，但非负性与可列可加性是其中最基本最重要的定理，称为测度公理。由定义可知，点集的勒贝格测度mE是非负的，通过下面的定理可知点集的勒贝格测度同样具有可列可加性。

定理　设X=（a，b）为基本集，E、E₁和E₂为X的子集。

（1）若E可测，则其补集⊂_XE也可测；

（2）若E₁和E₂可测，则E₁∪E₂、E₁∩E₂、E₁-E₂均可测，又若E₁∩E₂=，则有

m（E₁∪E₂）=mE₁+mE₂

定理

（1）单调性：若E₁和E₂可测，且E₁⊂E₂，则mE₁≤mE₂；

（2）可列可加性：若{E_k}是一个可测集列，k=1，2，…，则

也可测；如果E_k两两互不相交，则

（3）若{E_k}是一个可测集列，k=1，2，…，则

也可测。

下面简单证明前两条性质。

证明

（1）由E₁⊂E₂可知E₂=（E₂-E₁）∪E₁，且（E₂-E₁）∩E₁=，根据前面给出的定理可知E₂-E₁可测，且

mE₂=m（E₂-E₁）+mE₁

或者

m（E₂-E₁）=mE₂-mE₁

而m（E₂-E₁）≥0，所以mE₁≤mE₂。

（2）假设E_k两两互不相交，则同样根据前面给出的定理可知，它们的有限并集也可测，并且

根据内测度的定义以及上确界的意义，对于任意的ε＞0，必然存在闭集

使得

又因为F⊂E，故

在上式中，先令ε→0，再令n→+∞，得

类似地，根据外侧度的定义，还可以得到

于是有

但是m_∗E≤m^∗E，于是可得m_∗E=m^∗E。因此集E可测，且

此外，如果E_k中有彼此相交的情况，由

即可将E分解为互不相交的可测集的并，于是根据上面已经证明的定理，即知E可测。

对开集与闭集进行至多可列次的交、并运算所得到的集，通常称为博雷尔（Borel）集。凡博雷尔集都是勒贝格可测集。因此，勒贝格可测集类是相当广泛的集类，而且通常大多数集合都是勒贝格可测的。但是，也的确有勒贝格不可测集的例子存在，本书对此不做过深涉及。

例如，区间[0，1]中的有理点集是L可测的，并且它的测度为0。因为单点集是L可测的，并且测度为0，而有理点集可以看作是可列个单点集的并，所以根据可列可加性就得到上述结论。由此还可以知道，区间[0，1]中的无理点集的测度是1。用类似的方法还可以证明，任何可数集的测度都为0，但其逆命题不一定成立。测度为0的集也称为零测集，还可以证明零测集的任何子集都是零测集。

定理　设X=（a，b）是基本集，{E_k}是其中的可测集列。

（1）若{E_k}是渐张的，即E₁⊂E₂⊂…⊂E_k⊂…，则

是可测集，并且

（2）若{E_k}是渐缩的，即E₁⊃E₂⊃…⊃E_k⊃…，则

是可测集，并且

设E是直线上的一个无界点集，如果它与任何开区间的交是可测的，那么称E为可测集，并且定义E的测度为

需要注意是，无界点集的测度可能是有限值，也可能是无穷大。利用这个定义可以将有界可测集的性质推广到无界可测集。而且仿照上述建立直线点集的测度理论的过程还可以建立平面点集甚至高维空间中点集的勒贝格测度理论。具体过程这里不再赘述。

3.1.2　可测函数及其性质

定义　设E为直线上的可测集（有界或无界），f（x）是定义在E上的实值函数。如果对于任何实数α，集合E（f≥α）={x|f（x）≥α，x∈E}都是勒贝格可测的，那么称f（x）是E上的勒贝格可测函数，简称可测函数。

定理　函数f（x）在可测集E上可测的充要条件是：对于任何实数α和β，集合

E（α≤f＜β）={x|α≤f（x）＜β，x∈E}

是勒贝格可测的。

证明　首先证明必要性。设f（x）为E上的可测函数，由于

E（α≤f＜β）=E（f≥α）-E（f≥β）

而E（f≥α）与E（f≥β）都是可测集，所以E（α≤f＜β）也是可测集。

再证明其充分性。假设对于任何实数α和β，E（α≤f＜β）是可测集，而且可以证明

并且每个E（α≤f＜α+n）都是可测集，于是E（f≥α）也是可测集，所以f（x）为E上的可测函数。

定理　函数f（x）在可测集E上可测的充要条件是下列条件之一成立。

（1）E（f＞α）={x|f（x）＞α，x∈E}是可测集；

（2）E（f≤α）={x|f（x）≤α，x∈E}是可测集；

（3）E（f＜α）={x|f（x）＜α，x∈E}是可测集；

（4）对于直线上的任何开集G，它的原象f^-1（x）是可测集，其中，α是任意实数。

例如，可以证明区间[0，1]上的狄利克雷函数

是可测函数。

事实上，对于任何实数α，由于

是可测集，因此D（x）是[0，1]上的可测函数。

在集合论中，指示函数（indicator function），或称特征函数（characteristic function），是定义在集合χ上的函数，它用以表示集合χ中的一个元素是否属于χ的某一子集A。如果函数值等于1，那么表示被考查的元素都在A中。反之如果函数值为0，则表示被考查的元素都在χ中，但不在A中。例如，设E为直线上的任意一点集，而且E是可测集，则集E的特征函数

是E上的可测函数，证明方法与前面分析狄利克雷函数的可测性的方法类似。

定理　设f（x）与g（x）都是可测集E上的可测函数，那么kf（x）、f（x）±g（x）、f（x）·g（x）、f（x）/g（x）以及|f（x）|都是E上的可测函数。其中，k是常数，g（x）≠0。

3.1.3　勒贝格积分的定义

定义　设mE＜+∞，f（x）是E上的有界可测函数，并且α＜f（x）＜β。任意取分点组Δ={y₀，y₁，y₂，…，y_n}分割区间[α，β]，则

α=y₀＜y₁＜y₂＜…＜y_n=β

令

任意取ξ_i∈[y_i-1，y_i）做和式

如果不论[α，β]如何分割，不论ξ_i如何选取，当n→+∞且σ（Δ）→0时，和式σ（Δ）的极限都存在并且相等，则称f（x）在E上是勒贝格可积的，而和式σ（Δ）的极限值称为f（x）在E上的勒贝格积分，简称为L积分，记作

下面定理给出了函数勒贝格可积的充分条件。

定理　设mE＜+∞，则E上的任何有界可测函数f（x）是勒贝格可积的。若α≤f（x）≤β，则

因此，还可以得到如下推论。

推论　设mE＜+∞，f（x）为E上的有界可测函数。

（1）若f（x）≥0，则∫_Ef（x）dm≥0；若f（x）≤0，则∫_Ef（x）dm≤0；

（2）若f（x）=α，α为常数，则∫_Ef（x）dm=amE；

（3）若mE=0，则∫_Ef（x）dm=0。

勒贝格积分保持了黎曼积分的一些基本性质。

定理　设mE＜+∞，f（x）与g（x）都是E上的有界可测函数。

（1）线性性：设α与β为常数，则

（2）单调性：若几乎处处有f（x）≤g（x），则

（3）有限可加性：设

E_i均是可测集，并且E_i∩E_j=，i≠j，则

推论　若几乎处处有f（x）=g（x），则

这是一个看似显然但又意味深长的结论。如果f（x）与g（x）是完全相等的，那么结论是显然成立的。但问题在于该推论的前提是“几乎处处”，也就是表明两个函数不相等的点是有限个。不妨设有A=E（f≠g），因为这样的点是有限个的，所以mA=0，再设有B=E（f=g），则

又因为

两式相加即得

这个结论其实说明，任意改变被积函数f（x）在一个零测集上的值，并不影响函数的可积性以及积分的值，即使f（x）在此零测集上无意义也未尝不可。因此，对等的两个函数在勒贝格积分理论中可以看成是同一个函数，这是L积分与R积分的一个显著区别。

接下来就是将勒贝格积分的概念推广到任意可测集E（mE可以取无穷值）上的无界可测函数的情形，也就是建立广义勒贝格积分的概念。

首先，设mE＜+∞，f（x）是E上的无界可测函数。

假定f（x）是E上的非负可测函数，即f（x）≥0。令

由此对于每一个[f（x）]_n而言，它都被控制在了[0，n]之间，即{[f（x）]_n}是E上的有界可测函数列，而前面的定理表明“当mE＜+∞时，则E上的任何有界可测函数f（x）是勒贝格可积的”。因此，对于每个n，都有

都存在。又因为[f（x）]₁≤[f（x）]₂≤…≤[f（x）]_n≤…，所以极限

也存在（可以取有限或无限值）。如果极限值是有限的，则称f（x）在E上勒贝格可积，并且积分值为

如果极限值是无限的，则称f（x）在E上有积分。

更进一步，假定f（x）是E上的任意可测函数，那么定义

并分别称它们为f（x）的正部和负部，则

如若下面两个积分不同时为+∞，则

定义f（x）在E上的勒贝格积分为

若上式右端的两个积分都是有限的，则称f（x）在E上的勒贝格可积。否则，称f（x）在E上有积分。

下面再考虑E为任意可测集，f（x）为E上的可测函数时的情况。若f（x）是全直线R=（-∞，+∞）上的可测函数，极限

存在且有限，则称f（x）在实数轴R上勒贝格可积，并且定义f（x）在R上的勒贝格积分为

如果E是R上的任意可测集（mE可以为+∞），则f（x）在E上的勒贝格积分定义为

其中，χ_E（x）是E的特征函数。

至此，便完成了勒贝格积分的推广。

需要注意的是，存在勒贝格可积但黎曼不可积的函数。而且还可以证明，在有限区间[a，b]上黎曼可积的函数必定勒贝格可积，并且积分值相等。所以，勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类广泛得多。而且前面给出的关于有界可测函数勒贝格积分的性质定理及推论对任意可测集上的任意可测函数的勒贝格积分也成立。

定理　（绝对可积性）设f（x）是可测集E上的可测函数，则f（x）在E上勒贝格可积的充要条件是|f（x）|在E上可积，并且有

定理　（绝对连续性）设f（x）是可测集E上勒贝格可积，则对于任意的ε＞0，存在δ＞0及子集e⊂E，使得当me＜δ时，

证明　令g（x）=|f（x）|，则由绝对可积性定理即知g（x）可积。又由前面给出的

可知对任意的ε＞0，存在自然数N，使得下面的式子成立：

令δ=ε/2N，则当e⊂E，且me＜δ时，

所以，定理得证。

定理　（可列可加性）设f（x）是可测集E上勒贝格可积，且有

其中，E_k为互不相交的可测集，则

证明　令

则由测度的可列可加性可得当n→+∞时

根据积分的有限可加性，有

因此，再利用积分的绝对连续性即得

至此，便证明了可列可加性。

3.1.4　积分序列极限定理

勒贝格积分的另一个显著优点就是，积分与极限运算交换次序所要求的条件与黎曼积分相比要弱很多，因而使用起来比较灵便。本节介绍几个常用的极限定理。

定理　（勒贝格控制收敛定理）设mE＜+∞，{f_n（x）}是E上的可测函数列，并且几乎处处有

若存在一个E上的勒贝格积分函数g（x），使得在E上几乎处处有

则在E上勒贝格可积，并且

推论　（勒贝格有界收敛定理）在与上述定理相同的条件下，若存在常数M，使在E上几乎处处有

则f（x）在E上勒贝格可积，并且

显然，只要在前面的定理中取g（x）=M即可得到此推论。

定理　设mE＜+∞，f（x）与u_n（x）都是E上的非负可测函数，n=1，2，…，且几乎处处有

则

证明　由于f（x）在E非负可测，故积分∫_Ef（x）dm有意义。又因为对于任意的正整数N，有

所以可得

如果上式右端等于无穷大则定理显然成立。现在假设

令

则对于任意正整数k，必有

事实上，设x₀∈E，若f（x₀）≤k，则更有S_N（x₀）≤k，按照[S_N（x）]_k的定义，有

若f（x₀）＞k，则存在N₀，使得N＞N₀时，S_N（x₀）＞k，于是当N＞N₀时，[S_N（x₀）]_k=k，从而

因为[S_N（x）]_k≤k，根据勒贝格有界收敛定理

又因为

所以

令k→+∞，得

综上即得下式，所以结论得证。

定理　设mE＜+∞，{f_n（x）}是E上的非负可测函数列，并且

f₁（x）≤f₂（x）≤…≤f_n（x）≤…

而函数列{f_n（x）}逐点收敛于函数f（x），即

则

该定理或许是最重要的勒贝格单调收敛定理，又称为莱维（Beppo Levi）定理。

证明　设f₀（x）=0，令u_n（x）=f_n（x）-f_n-1（x），n=1，2，…，则u_n（x）≥0，且

由前面刚刚证明过的定理可得

定理得证。