1.3 测量模型

基于状态的非贝叶斯模型，即状态只包含位置和方向信息，我们下面给出一个通用的节点间和节点内测量的数学模型。

1.3.1 节点间测量

节点间测量表示为，是在节点k处进行的对于节点j的测量。例如，从节点j发出，节点k从接收的射频或者声波信号中获得的信息，或者由节点k的视觉传感器拍摄到的节点j的图像信息。一般来说，节点间测量只依赖于两个节点之间的状态差异。接下来我们将详细介绍节点间相对位置和速度的测量 ^[1]。

• 相对位置：节点间的相对位置信息可以通过射频或者声波信号等的测量得到。选定n₀=0，节点间相对位置的测量可以描述为

其中，g₀（·）表示关于节点间相对位置的函数，表示测量的随机噪声。式（1-3）中相对位置测量的似然函数可以写为

• 相对速度：节点间的相对速度信息可以通过射频或声波信号等的多普勒频移测量得到。由于速度可以被建模为节点位置的一阶差分，因此，选定n₀=1，节点间相对速度的测量可以描述为

其中，g₁（·）表示关于节点间相对速度的函数。这里再次使用了式（1-6）中的标记作为相对速度测量的随机噪声，尽管符号相同，但是应该理解其实际对应于不同的测量。相对速度测量的似然函数可以写为类似式（1-7）的形式，不再赘述。

1.3.2 节点内测量

节点内测量表示为，是对节点k自身进行的测量。例如，来自节点本身惯性测量单元（IMU）和视觉传感器的信息。值得注意的是，与速度和加速度相关的测量可以被建模为移动节点在几个连续时刻的位置和方向的函数。因此，式（1-3）中不同类型的节点内测量的似然函数对应于n₀的不同取值。下面我们举例说明几种典型测量类型的似然函数。

• 位置：节点的位置信息可以直接通过视觉或者雷达传感器相对于已知位置的局部参考点测量得到。选定n₀=0，节点位置的测量可以描述为

其中，h₀（·）表示关于节点位置的函数，是测量的随机噪声。位置测量的似然函数可以写为类似式（1-7）的形式。

• 速度：节点的速度信息通常可以用多普勒频移测量得到，并且可以被建模为节点位置的一阶差分。因此，选定n₀=1，节点速度的测量可以描述为

其中，h₁（·）表示关于节点速度的函数。

• 加速度：节点的加速度信息一般可以通过IMU测量得到，并且可以被建模为节点位置的二阶差分。尽管IMU的测量值位于本地坐标系中，但是为了简单起见，我们此处考虑在全局坐标系中测量得到的加速度。选定n₀=2，节点加速度的测量可以描述为

其中，h₂（·）表示关于节点加速度的函数。

• 方向：与节点位置相似，节点的方向信息可以用磁力计、视觉传感器或者雷达传感器在已知的局部参考环境中测量得到。描述节点方向的测量，可以将式（1-9）中的替换为，并替换相应的函数h₀（·）得到。

• 角速度：与节点速度相似，节点的角速度信息通常通过陀螺仪测量得到，并且可以被建模为节点方向的一阶差分。描述节点角速度的测量，可以通过将式（1-10）中的替换为，并替换相应的函数h₁（·）得到^[2]。

1.3.3 测量实例

1.3.1节和1.3.2节中描述了通用的节点间和节点内测量的数学模型。为了更加直观地表示网络定位与导航，并进一步发展该理论基础，我们接下来给出一个测量实例。

信号度量（如TOA和AOA）可用于估计节点间的相对位置。随着宽带传输和阵列信号处理技术的发展，人们可以获得准确的TOA和AOA测量，这对于高精度定位是至关重要的。我们考虑在准静态场景中通过节点之间收发射频信号来获得节点间测量的情形。由节点j发送、节点k通过单路径传播信道接收的无线信号可以写为

其中，s（t）是一个已知的波形（其傅里叶变换为S（f）），和分别是信道的增益和延时，表示观测噪声，其建模为双边能量谱密度为N₀/2的加性高斯过程，[0，T_ob）是观测的时间间隔。延时和节点位置之间的关系为

其中，c表示信号的传播速度，表示距离的偏置。在视距传播的情况下，=0；在非视距传播的情况下，＞0。

记为通过Karhunen-Loeve扩展得到的向量表示，那么的似然函数，作为式（1-7）的一个特例，可以写为

其中，延时是位置和的函数，由式（1-13）给出。信道增益和距离的偏置组成冗余参数。

最后，我们考虑一个十分简单但非常重要的节点内测量的实例，即在加性高斯噪声下的速度测量，由下式给出：

其中，，σ_m是已知的噪声标准差。