命题III.1

给定一个圆可以找到它的圆心。

设：ABC为给定的圆。

现在要求找到ABC的圆心。

令：在圆内任作一条弦AB，作D平分AB。作DC，使之垂直于AB，延长DC至E，在CE上找到该线的平分点F（命题I.10、I.11）。

求证：F是圆ABC的圆心。

假设不是这样，而假定圆心是G，连接GA、GD、GB；

那么因为：AD等于DB，DG为共用，那么，AD、DG分别等于对应的BD、DG。

由于GA、GB皆为半径，所以：GA等于GB。所以：∠ADG等于∠GDB（定义I.15、I8）。

但是，当一条直线和另一条直线所成的邻角彼此相等时，它们每一个都是直角。所以，∠GDB是直角。

又因为∠FDB也是直角，所以：∠FDB等于∠GDB。大等于小。这是不可能的。

所以：点G不是圆ABC的圆心。

同样，也可以证明，除了F以外的任何点皆不是圆心。

所以：F是圆ABC的圆心。

所以：给定一个圆可以找到它的圆心。

证完

推论

以上的证明表明：如果一个圆中的一条弦垂直平分圆中的另一条弦，那么圆心一定位于这条弦上。