命题I.37

同底等高的三角形面积相等。

设：三角形ABC、三角形DBC有同底边BC，并有相同平行线段AD、BC。

求证：三角形ABC与三角形DBC面积相等。

令：在两个方向上延长AD至Ε和F，过B作BΕ平行于CA（命题I.31）。

过C作CF平行于BD。

因为图形ΕBCA、DBCF有共同的边BC及ΕF（命题I.35），所以：ΕBCA、DBCF是平行四边形，并相等。

因为AB是对角线，故：三角形ABC是平行四边形ΕBCA的一半（命题I.34）。

DC是对角线，故：三角形DBC是平行四边形DBCF的一半（命题I.34）。

（等量的一半相等）。

所以：三角形ABC的面积等于三角形DBC的面积。

所以：同底等高的三角形面积相等。

证完

注解

本命题中三角形底边相同，在下一个命题中底边相等。证明是一样的，只是本命题依赖于命题I.35，而命题I.38则依赖于命题I.36，且是更为通用的情况。最后的结论有些疏漏，根据命题的证明，应该是两个量的两倍相等。

本命题应用在命题I.39、I.41、卷6中。