命题I.26

两个三角形如有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等。

设：三角形ABC、三角形DΕF有两个角和一条边相等，∠ABC、∠BCA分别与∠DΕF、∠ΕFD对应相等。一条对应边相等，即BC等于ΕF。

求证：其余的对应边和角都相等，即AB等于DΕ，AC等于DF，∠BAC等于∠ΕDF。

假设：AB不等于DΕ，其中一个比另一个大。假定AB大于DΕ，BG等于DΕ；连接GC。

那么，既然BG等于DΕ，BC等于ΕF，GB、BC分别等于对应的DΕ、ΕF；∠GBC等于∠DΕF；于是：底边GC等于底边DF，三角形GBC全等于三角形DΕF，剩余的角亦相等，即与等边对应的角相等（命题I.4）。

于是：∠GCB等于∠DFΕ，而∠DFΕ被假设等于∠BCA。

所以：∠BCG等于∠BCA，即大角等于小角，故不能成立。

所以：AB与DΕ是相等的。

又：BC也等于ΕF。所以：AB、BC分别等于对应边DΕ、ΕF，∠ABC等于∠DΕF。

所以：AC等于DF，∠BAC等于∠ΕDF（命题I.4）。

又，斜边相等角相等，如AB等于DΕ。求证：余下的边也对应相等，即AC等于DF，BC等于ΕF，余下的∠BAC等于余下的∠ΕDF。

假定：如果BC不等于ΕF，其中一个比另一个大。

设：BC更大，如果可能，使BH等于ΕF；连接AH。

那么，既然BH等于ΕF，AB等于DΕ，AB、BH于是分别等于对应边DΕ、ΕF，并包含相等的角，于是：AH便等于DF，三角形ABH便全等于三角形DΕF，余下的对应边所对应的角便互相相等（命题I.4）。所以：∠BHA等于∠ΕFD。

而∠ΕFD等于∠BCA，所以：在三角形AHC中，外角∠BHA等于∠BCA。而这是不可能的（命题I.16）。所以：BC等于ΕF，而AB也等于DΕ。所以：AB、BC分别等于对应的DΕ、ΕF，并包含相等的角。

所以：底边AC等于底边DF，三角形ABC全等于三角形DΕF，角∠BAC等于角∠ΕDF（命题I.4）。

所以：两个三角形如有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等。

证完

注解

本命题是三角形全等定理的最后一个定理，命题I.4陈述了边—角—边相等，命题I.8陈述了边—边—边相等，本命题陈述边—两角相等定理。

本命题应用在命题I.34中，也用在卷3、4、11、12、13的部分命题中。