命题I.4

如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两个三角形亦全等，其余的两对应角亦相等。

设：作三角形ABC、三角形DΕF，使其AB＝DΕ、AC＝DF，AB是DΕ的对应边，AC是DF的对应边，∠BAC等于∠ΕDF。

求证：边BC等于边ΕF，三角形ABC全等于三角形DΕF，相应的角亦相等，即∠ABC等于∠DΕF，∠ACB等于∠DFΕ。

因为AB＝DΕ，假定三角形ABC与三角形DΕF不全等，置A点于D点上，AB线于DΕ线上，B点就同Ε点重合；

又，因为∠BAC等于∠ΕDF，于是AB与DΕ相等，AC与DF相等；于是点C与点F必然重合，因为AC也等于DF。

另外：B与Ε重合，于是底边BC与底边ΕF相等。

假定：当B替换Ε、C替换F时，底边BC不等于底边ΕF，两条线段就要形成一个空间，这是不可能的。所以底边BC与底边ΕF重合并相等（公理I.4）。

所以：三角形ABC与三角形DΕF重合并全等，其余对应角重合并相等，∠ABC对应∠DΕF，∠ACB对应∠DFΕ。

所以：如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两个三角形亦全等，其余的两对应角亦相等。

证完

注解

本命题涉及三角形的叠合，欧几里得没有明确地使用叠合的概念。在讨论立体几何时，欧几里得使用了“相似且相等”这一概念，以表述“叠合”，这一概念出现在卷6中，它理应放在书的开始部分。

本命题的全等定理应用在本卷的下两个命题中，同时也高频率地应用在从卷1开始的各卷中，在卷2、3、4、6、11、12、13中皆不时地出现。