4.2 内积能量与图像梯度的性能比较

下面通过比较内积能量和梯度幅值平方的数学期望与方差，从数学上分析内积能量和梯度幅值在抑制噪声方面的性能。

设邻域G的半径r，则G内包含的像素点个数为N=πr²。为了便于比较，我们假定在X局部范围内的其他边缘点有相近梯度（这是一个非常合理的假定，因为边缘的梯度在边缘方向上是连续的），并且这些点的个数为n，显然有n＞4r（至少位于理想边缘两侧且与之相邻的像素点为边缘点）。在X局部范围内的非边缘点的梯度幅值小且梯度方向与X的梯度方向相差很大，所以非边缘点的梯度与X的梯度内积非常小，即非边缘点的梯度对X的内积能量贡献也非常小，可以忽略不计。于是有：

将式（4-29）和式（4-30）带入式（4-21）和式（4-22）可得：

对于噪声点，即当f_rx（X）=f_ry（X）=f_rx（X_i）=f_rx（X_i）=0时，梯度幅值平方和内积能量的数学期望与方差分别为：

本节通过比较边缘信号输出与噪声信号输出的比值（信噪输出比）来衡量算法的噪声抑制性能，显然，信噪输出比越大，算法对噪声的抑制性能越好。

•考虑边缘信号与噪声的输出均值 （式 （4-24）、式 （4-31）、式 （4-33）和式 （4-35）），梯度幅值平方与内积能量的信噪输出比分别为：

•考虑边缘信号与噪声的输出方差 （式 （4-28）、式 （4-32）、式 （4-34）和式 （4-36）），梯度幅值平方与内积能量的信噪输出比分别为：

比较式（4-37）与式（4-39）、式（4-38）与式（4-40），可得：

通过以上的数学分析可得：相对于梯度幅值平方，内积能量具有更大的信噪输出比，因此在保持相当定位精度的条件下具有更强的噪声抑制性能。

•直观比较

图4-1a是一幅加入高斯噪声的模拟图像，图4-1b和c分别为图4-1a中区域A（噪声点为中心）和区域B（边缘点为中心）的梯度分布。直观上看：噪声点附近的梯度呈随机分布，方向很难与该噪声点一致，因而有较小的内积能量；此外，各点与噪声点内积运算的结果符号有正有负，可相互抵消，因此，噪声点的内积能量非常小。而边缘点附近各点的梯度均与其梯度趋向一致，使得内积运算后能够获得较大的内积能量。因此，仅由噪声引起的非边缘点因缺乏边缘结构的有效支撑，经内积能量运算后在很大程度上得到抑制；而有边缘结构支撑的边缘点经过内积能量运算后会被大大增强。图4-1d和 e分别为图4-1a的梯度幅值平方图和内积能量图，内积能量在抑制噪声方面明显具有更好的性能表现。