0.4　有效数字

0.4.1　有效数字及位数

有效数字是指在分析工作中实际可以测量到的或代表一定物理意义的数字。它包括确定的数字和最后一位估计的不确定的数字。它不仅能表示测量值的大小，还能表示测量值的精度。例如用万分之一的分析天平称得的坩埚的质量为18.4285g，则表示该坩埚的质量为18.4284～18.4286g。因为分析天平有±0.0001g的误差。18.4285有6位有效数字。前五位是确定的，最后一位“5”是不确定的可疑的数字。如将此坩埚放在百分之一天平上称量，其质量应为（18.42±0.01）g。因为百分之一天平的称量精度为±0.01g。18.42为四位有效数字。再如，用刻度为0.1mL的滴定管测量溶液的体积为24.00mL，表示可能有±0.01mL的误差。“24.00”的数字中，前三位是准确的，后一位“0”是估计的、可疑的，但它们都是实际测得的，四位都是有效数字。

有效数字的位数可以用下列几个数据说明：

　　　　1.2104　　　25.315　　　　五位有效数字

　　　　0.1000　　　24.13　　　　　四位有效数字

　　　　0.0120　　　1.65×10-6　　三位有效数字

　　　　0.0030　　　5.0　　　　　两位有效数字

　　　　0.001　　　　0.3　　　　　一位有效数字

数字“0”在有效数字中有两种作用，当用来表示与测量精度有关的数值时，是有效数字；当用来指示小数点的位置，只起定位作用，与测量精度无关时，则不是有效数字。在上列数据中，数字之间的“0”和数字末尾的“0”均为有效数字，而数字前面的“0”只起定位作用，不是有效数字。如，0.0120g是三位有效数字，若以毫克为单位表示时则为12.0mg，数字前面的“0”消失，仍是三位有效数字。

以“0”结尾的正整数，有效数字位数不确定，最好用指数形式来表示。例如450这个数，可能是两位或三位有效数字，有效数字的位数取决于测量的精度。如只精确到两位数字，那么，它是两位有效数字，应写成4.5×102；如精确到三位数字，应写成4.50×102。对于含有对数的有效数字位数的确定，如pH值，其位数仅取决于小数部分数字的位数，因整数部分只说明这个数的方次。如pH=11.20和pH=0.03是两位有效数字。

分析化学中常遇到倍数或分数的关系，包括定义中的单位体积或质量（如1L或1kg溶液中），它们为非测量所得，可视为有无限多位有效数字。

0.4.2　有效数字的运算规则

（1）有效数字的修约规则

有效数字的位数确定后，多余的位数应舍弃。舍弃的方法一般采用“四舍六入，五后有数就进一，五后没数看单双”的规则进行修约。即当尾数≤4时，弃去；尾数≥6时进位；尾数等于5时，5后有数就进位，若5后无数或为零时，则尾数5之前一位为偶数就弃去，若为奇数就进位。

例0-1　将下列数据修约为四位有效数字。

3.2724、5.3766、4.282502、4.2815、4.2825、4.28150、2.86250

解：3.2724→3.272；5.3766→5.377；4.282502→4.283；4.2815→4.282；

4.2825→4.282；4.28150→4.282；2.86250→2.862

（2）加减运算

几个数字相加或相减时，它们的和或差的有效数字的保留应以小数点后位数最少（即绝对误差最大）的数为准，将多余的数字修约后再进行加减运算。

例0-2　计算0.0121+25.64+1.05782的结果。

解：0.0121+25.64+1.05782=0.01+25.64+1.06=26.71

上面相加的三个数据中，25.64的小数点后位数最少，绝对误差最大。因此应以25.64为准，保留有效数字位数到小数点后第二位。

（3）乘除运算

几个数相乘或相除时，它们的积或商的有效数字的保留应以有效数字位数最少（相对误差最大）的数为准，将多余的数字修约后再进行乘除。

例0-3　计算0.0121×25.64×1.05782的结果。

解：0.0121×25.64×1.05782=0.0121×25.6×1.06=0.328

三个数的相对误差分别为：

可见，0.0121的相对误差最大，故应以此数为准，将其他各数修约为三位，然后再相乘。

对于含有对数和开方的运算，运算结果的有效数字位数不变。如，c（H+）=6.3×10-12mol·L-1，pH=-lg（6.3×10-12）=11.20，。

若几个数相乘或相除时，位数最少的首位数是8或9，则有效数字可多保留一位。例如，0.9×1.18，可将0.9看成2位有效数字，因为0.9与1.0的相对误差相近，因此，0.9×1.18=1.1。

0.4.3　有效数字的应用

（1）数据记录

记录测定结果时，只保留一位可疑数据。如在万分之一的分析天平上称得某物体重0.2500g，只能记录为0.2500g，不能记成0.250g或0.25000g。又如从滴定管上读取溶液的体积为24.00mL时，不能记为24mL或24.0mL，只能记为24.00mL。

（2）仪器选用

有效数字的大小不仅体现了数据的大小，也体现了所使用仪器的精度。因此，根据有效数字的大小和位数，可以选择符合实验要求的仪器。如要求称取约3.0g的样品时，就不需要用万分之一的分析天平，用一般的台秤称量即可。

（3）结果的表示

分析煤样品中含硫量时，若称样量为3.5g。两次测定结果为0.042％和0.041％，不能表示为0.04200％和0.04100％。

（4）分析结果的评价

定量分析结果的好坏常用相对误差、相对平均偏差、相对标准偏差等数据来评价。在修约这些数据时，一般保留不超过2位有效数字。

目前，计算器的使用已很普及，使用计算器作连续运算时，不必对每一步的计算结果都进行修约，但最后的计算结果应按要求保留有效数字的位数。