4.2 噪声

雷达导引头的基本任务是从噪声背景中检测目标并提取目标信息，噪声分析是雷达导引头系统设计的重要内容。本节介绍随机过程的统计特性、噪声的数值表征和窄带噪声。

4.2.1 随机过程的统计特性

随机过程是一个随机起伏的时间函数。对同一随机事件做N次测量和记录，可得到N个随机函数序列，如图4-14所示，称这一组序列为随机函数的总集，记为

对于特定时刻t1,t2, ⋅⋅⋅,tM，则可得M个数值序列：

显然，X1,X2, ⋅⋅⋅,XM都是随机变量。

图4-14x（t）的N个随机函数序列

对于随机变量X1，其概率为

式中：p（x1,t1）为一维概率密度。

对于两个随机变量X1和X2，其联合概率为

式中：p（x1,t1;x2,t2）为二维概率密度。

对于M 个随机变量X1,X2, ⋅⋅⋅,XM，其联合概率为

式中：p（x1,t1;x2,t2; ⋅⋅⋅;xM,tM）为M维概率密度。

如果下式成立

则M 个随机变量是统计独立的，或称不相关，否则就不独立或相关。

如果一个随机过程{x（t）}时间平移τ后的统计特性不变，即

则称该随机过程为平稳随机过程。平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，即

在给定平稳随机过程的一维概率密度p（x）情况下，可以确定相应的统计平均值。

1．x的数学期望

平稳随机过程的数学期望表示平均值，其计算式为

式中：E＜x＞ 表示对集合取统计平均，有时也记为 ＜x＞。

2．x的均方值

平稳随机过程的均方值表示平均功率，其计算式为

Px的平方根称为均方根值。

3．x的方差

平稳随机过程的方差表示交流功率，其计算式为

显然， =Px−m2。

4．x的k阶原点矩

平稳随机过程的k阶原点矩为

当k为1和2时，分别为数学期望和均方值。

5．x的k阶中心矩

平稳随机过程的k阶中心矩为

当k为2时，即为方差。

平稳随机过程具有遍历性，即随机过程的某一样本函数的时间平均值等于它在某一时刻的变量的统计平均值，如

式中的上划线表示求划线下变量的时间平均值。

平稳随机过程是功率型随机过程，其自相关函数Rx（τ）与功率谱密度px（f）成傅里叶变换对：

4.2.2 噪声的数值表征

噪声的数值特征可以用噪声功率谱密度、等效噪声带宽、噪声系数和噪声温度表示。

1．噪声功率谱密度

噪声n（t）也是随机过程。接收信道中的噪声是一种具有平稳性和遍历性的随机过程，这种噪声具有正态概率分布，其均值为零，且功率谱密度在无限宽的频带内为非零常量，习惯上称为白噪声。白噪声功率谱密度表示为

式（4-100）是双边功率谱密度，在正负频率上均有分布。这种定义便于与傅里叶变换兼容。实际噪声只在正频率上分布，故单边功率谱密度为

应该注意，双边功率谱密度与单边功率谱密度都用pn（f）表示，但两者相差系数1/2。

白噪声的相关函数为

白噪声的功率谱如图4-15（a）所示。白噪声波形是宽度无限窄、起伏极快的随机脉冲串。仅当τ=0时，白噪声才有相关性。然而，白噪声毕竟是一种理想化了的模型，实际噪声脉冲具有一定的宽度，噪声功率谱只是在有限频带内近似为常数，故当τ很小时，仍有相关性，其相关函数如图4-15（b）所示。工程中，只要噪声功率的有限谱宽比信道通带宽得多，且在带内功率谱比较均匀，就可以作为白噪声处理。

下面以热噪声为例，说明噪声功率谱密度的计算方法。热噪声是导体中的自由电子在热激励作用下的不规则运动导致电流的瞬间起伏现象。自由电子引起电流起伏的双边功率谱密度为

式中：k为玻耳兹曼常数；T为环境温度；G为导体电导，G=1/R，其中R为导体电阻值；αe为一个电子平均每秒钟的碰撞次数，约为1014量级。

在（2πf /αe）≤0.1范围内，可认为pni（f）是常数，相应的频率范围为（0～1013）Hz。因此，热噪声功率谱密度可表示为

实际电导可表示为无噪声电导G和功率谱密度为2kTG的噪声电流源in（t）的并联。利用戴维宁（Thevenin）定理，可将无噪声电导与噪声电流源的并联形式等效为无噪声电阻R与噪声电压源un（t）的串联形式，噪声电压源的功率谱密度为

若用单边功率谱密度表示，则有

2．等效噪声带宽

如图4-16所示，白噪声通过具有频率选择性的线性电路后，输出噪声不再是白噪声了。图中：pn,i（f）为输入噪声功率谱密度；pn,o（f）为输出噪声功率谱密度；｜H（f）｜2为线性电路的功率传输系数。

显然

等效噪声通带是以噪声功率相等来定义的。等效的方法是使带宽为Bn的矩形噪声功率谱的面积与实际噪声功率密度谱的面积相等，即

故有

噪声通带由电路参数决定。在多普勒雷达导引头中，接收信道的通带由具有良好矩形系数的窄带晶体滤波器决定，以晶体滤波器的带宽Bg作为通道的等效噪声带宽Bn是合理的，即

3．噪声系数

噪声系数表征系统在内部噪声的影响下，系统输出端的信噪比相对于输入端信噪比的恶化倍数，即

式中：Ps,i为系统输入信号功率；Pn,i为系统输入噪声功率；Ps,o为系统输出信号功率；Pn,o为系统输出噪声功率。

噪声系数是无量纲值，也可用分贝表示，即Fn,dB=10 lgFn。

式（4-112）也可写为

式中：KP为功率增益。

由于Pn,o等于外部噪声放大后输出功率和内部噪声输出功率之和，故噪声系数可解释为

显然，噪声系数是衡量系统内部噪声影响的参数，与信号无关。无噪声的理想网络，可得Fn=1。对于实际网络，则Fn＞1。

噪声系数适用于线性电路，不适用于非线性电路。对于混频器，噪声系数是适用的，这是因为混频器对输入噪声具有频移作用，而且本振噪声可折合到混频器自身的噪声系数中，故可将混频器视为准线性器件。

下面介绍级联网络噪声系数的计算方法。设n级网络的级间均处于匹配状态，且各级噪声系数分别为Fn,1,Fn,2, ⋅⋅⋅,Fn,n，各级的功率增益分别为KP,1,KP,2, ⋅⋅⋅,KP,n，其计算图如图4-17所示。

可以导出总噪声系数为

式中：Bn为噪声带宽，后续下标表示相应的级数，如Bn,2表示第二级的等效噪声带宽，Bn,12表示第一、二级的等效噪声带宽，以此类推。

4．噪声温度

噪声系数也可用噪声温度来表示。噪声系数可在网络输入端计算，即

式中：Po, isn为内部噪声的输出功率；Po, osn为外部噪声的输出功率；Pi, isn为内部噪声等效到输入端的噪声功率；Pi, osn为输入端的外部噪声功率。其中下标“isn”和“osn”分别表示内部噪声（inside noise）和外部噪声（outside noise）。

为了更清楚地表征内部噪声和外部噪声的数量关系，一般在输入端的匹配电阻上加以描述。输入匹配意味着网络输入电阻Ri与外部噪声源内阻Rs相等，即Ri=Rs=R，此时输入到信道的噪声功率为最大，其值为

考虑到噪声电压的均方值，故有

代入式（4-115）得

即

其中Tn为噪声温度，即

可见，网络内部噪声可以等效为理想无噪声网络输入端的一个温度为Tn的匹配电阻产生的噪声。噪声系数可用噪声温度表达：

4.2.3 窄带噪声

雷达导引头接收信道往往是一个窄带系统，输出的高频限带噪声可以看做高频窄带线性系统对具有单位功率谱的白噪声的响应，其功率谱密度为

式中：H0（f）为系统等效低通频率特性。

高频限带噪声的自相关函数为

式中：R0（t）为等效低频限带噪声的自相关函数。

高频限带噪声还可以表示为

式中：ρn（t）和φn（t）分别为噪声的振幅和相位分量；nI（t）和nQ（t）分别为噪声的同相分量和正交分量。且有

如果n（t）是均值为零、方差为σ2的正态噪声，则nI（t）和nQ（t）也是均值为零、方差为σ2的正态噪声，它们的概率密度分别为

ρn（t）的概率密度为瑞利分布，表达式为

ρn（t）的概率密度分布如图4-18（a）所示，在ρn =σ处有峰值。φn（t）的概率密度呈均匀分布，即

φn（t）的概率密度分布如图4-18（b）所示。

窄带噪声具有葫芦串状的时域波形，其载波频率与窄带噪声谱的中心频率一致，包络呈随机起伏。可以证明[28]，对于宽度为Bn的窄带矩形噪声谱，其时域波形在包络平均值处的平均宽度为

这就是通常所说的“噪声包络的平均宽度为1/Bn”的由来。