1.5 控制系统仿真的数学模型

从仿真的定义可知，建立数学模型是开展仿真的先决条件，因此在介绍各种仿真方法之前，必须先了解系统的数学模型。在自动控制中，常见的数学模型可以分为连续时间模型、离散时间模型和采样数据模型3大类。

1.5.1 连续时间系统的数学模型

连续时间模型通常采用下列3种数学形式描述连续系统。

1.输入、输出的微分方程

设系统的输入为u（t），输出为y（t），它们之间的关系可以表示为高阶微分方程

对于自动控制中最常见的线性定常系统，式（1.10）可以表示为

式中，ɑ0=1。

若引进微分算子，式（1.11）可以表示为

则有

2.输入、输出的传递函数

对式（1.11）的两边取拉氏变换，若系统的输出y（t）和输入u（t）及其各阶导数的初始值都为零，则得到

式中，Y（s）和U（s）分别为y（t）和u（t）的拉氏变换。定义

称它为输入、输出的传递函数。由式（1.14），有

将式（1.13）与式（1.15）对比可知，在初值为零的情况下，p与s等价。

3.状态空间模型

式（1.11）和式（1.15）给出的数学模型仅仅描述了线性定常系统的外部特性，即仅仅确定了输入u（t）与输出y（t）之间的关系，故称为系统外部模型。

为了描述一个系统内部的特性，即确定组成系统的各个实体之间的相互作用而引起实体属性的变化，可以引进系统的内部变量——称为状态变量。实际系统中，真实的内部变量及数学上定义的内部变量可以是一致的，也可以是不一致的。例如，直流电动机的输入为电枢电压u（t），输出为转速ω（t），它的内部状态变量可以选为真实的物理量——电枢电流i（t），也可以选为其他变量。然而，无论状态变量如何选择，系统的数学描述总有以下形式

其中，式（1.16）称为系统的状态方程，式（1.17）称为系统的输出方程。

式（1.16）和式（1.17）合称为系统的状态空间模型。由于它描述了系统的内部特性，所以又称为内部模型。

对于线性系统，上述3种数学模型的表示形式可以相互转换。

1.5.2 离散时间系统的数学模型

与1.5.1节中叙述的连续时间模型的表示形式相对应，离散时间模型通常也采用3种表示形式描述离散时间系统。

1.输入、输出的差分方程

设在离散时间点t0，t1，…，tk，…上控制系统的输入序列为{u（k）}，输出序列为{y（k）}，它们之间的关系可以表示为

这是非线性差分方程的表达式，其中f是其变量的函数。如果可以从式（1.18）中解出y（n+k），则得到非线性递推形式的差分方程为

差分方程描述了离散控制系统在各个时刻输入、输出之间的相互关系。由式（1.18）可以看出，根据输入u（k），u（k+1），…，u（n+k）和以前的系统输出y（k），y（k+1），…，y（n+k-1），就可以递推出时刻tn+k处的输出值y（n+k）。

对于线性定常系统，式（1.18）可以表示为

若引进后移算子q-1，它定义为

则式（1.20）可以改写为

式中，ɑ0=1。即有

式中

从而有

或者

2.输入、输出的脉冲传递函数

对式（1.20）的两边取Z变换，并设系统的初始值及以前时刻的输入和输出都为零，即y（k）=u（k）=0，k≤0，则可得

式中，Y（z）和U（z）分别为序列{y（k）}和序列{u（k）}的Z变换。定义

为线性差分方程式（1.20）描述的系统的脉冲传递函数，则有

将式（1.23）与式（1.25）对比可知，在初始条件为零的情况下，q-1与z-1等价。

3.离散状态空间模型

式（1.20）和式（1.25）仅仅描述了线性定常离散系统的输入、输出之间的关系，故称为外部模型。如果引进系统的状态变量序列{x（k）}，则可以构成离散状态空间模型

其中，式（1.26）称为系统的离散状态方程，式（1.27）称为系统的离散输出方程。离散状态空间模型属于内部模型。

对于线性定常系统，上述3种形式可以互相转换。

1.5.3 采样控制系统的数学模型

在采样控制系统中，控制器（由数字运算器构成）是对离散时间信号进行运算的部件，描述它的数学模型是离散时间模型；被控对象是连续过程，用连续时间模型描述。因此，这类系统需要用连续-离散时间混合模型，即采样数据模型来描述。计算机控制系统是典型的采样数据系统。如果忽略A/D和D/A转换器的转换时间及误差，则采样数据系统可由图1.8表示。

采样控制系统中，连续时间模型和离散时间模型都可以由任意一种形式给出。如果D（z）是控制器的脉冲传递函数，Gh（s）和G（s）分别是保持器和被控对象的传递函数，则采用传递函数形式描述的采样控制系统可由图1.9表示。